常微分方程教案

教案课程名称常微分方程课程编号总计学时：48讲课学时：48实验学时：上机学时：学分类别必修课（√）选修课（）理论课（）实验课（）任课教师徐昌进职称讲师授课对象专业班级：统计学0501共1个班基本教材和主要参考资料序号教材名称作者出版社出版时间1常微分方程张伟年高等教育出版社2006常微分方程蔡燧要武汉大学出版社2003常微分方程李虹利西南师范大学出版社2005教学目的要求通过本课程的学习，使学生掌握常微分方程的基本理论和解常微分方程的常见技巧，并注重培养学生的分析问题和解决问题的能力，为后续课程的学习打下坚实的基础。教学重点难点重点：分离变量法；常数变易法；恰当方程；存在与唯一性定理；齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法；高阶可积类型的解法；解的存在唯一性定理；叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky行列式；解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构；矩阵指数expA的定义及其性质；基本解矩阵的计算公式。难点：用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子的求法；逐次逼近法的应用及其思想；函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；特征根法和待定系数法；幂级数解法基本解矩阵的计算公式的推导。常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次1授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第一章绪论§1.1微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2基本概念教学目的、要求：了解微分方程的基本概念及例子，了解微分方程与生产实践的关系，掌握微分方程的有关基本概念。教学重点及难点：重点：通过讲授微分方程一些具体的应用实例，使学生认识到学习本课程的重要性；基本概念（阶、线性、非线性、解、特解、通解、初始条件、初值问题、积分曲线与方向场）。难点：分析模型，通解的定义教学基本内容方法及手段微分方程的一些具体实例；基本概念：阶、线性、非线性、解、特解、通解、初始条件、初值问题、积分曲线与方向场讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：p15-163(4)(5),4,8教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次2授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第二章一阶微分方程的初等解法§2.1.1变量分离方程§2.1.2可化为变量分离方程的类型§2.1.3应用举例教学目的、要求：了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分离的一阶方程。教学重点及难点：重点：变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线性方程的通解公式。难点：用变量替换将某些方程转化为变量分离方程教学基本内容方法及手段可分离变量微分方程)()(yxfdxdy的解法；可化为变量分离的微分方程的解法（1）形如)(xygdxdy（2）形如222111cybxacybxadxdy；应用举例讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：p313,9,12,17教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次3授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：§2.2线性方程与常数变易法教学目的、要求：了解一阶线性方程形式，熟练掌握求一阶非齐线性方程解的常数变易法及伯努利（Bernoulli）方程利用常数变易法解一阶非齐线性方程，掌握伯努利（Bernoulli）方程的求解方法教学重点及难点：重点：常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程的求解方法难点：常数变易法思想的理解；求伯努利方程的解变量替换法。教学基本内容方法及手段一阶非齐线性方程解()()dypxyqxdx的解法（常数变异法）；伯努利方程nyxQyxpdxdy)()(的解法；例题1求1(1)(1)xndyxnyexdx的通解，这里n为常数，例题2求26dyyxydxx的通解讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：p37-384,8,11,15教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次4授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：§2.3恰当方程与积分因子教学目的、要求：理解恰当方程，积分因子的概念，掌握恰当方程的解法以及用积分因子求解方法。掌握恰当方程的解法以及积分因子的概念与用积分因子法求解。教学重点及难点：重点：恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法难点：积分因子的求法。教学基本内容方法及手段恰当议程的定义与充要条件；积分因子；举例.（其他例题见课本）例1．求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解例2．验证yxyxu2),(是方程0)32()43(22dyyxxdxxyy的一个积分因子，并求其通解。讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：p49-503,7,16,22教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次5授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：§2.4一阶隐方程与参数表示教学目的、要求：掌握四类隐方程0),,(yyxF的类型及其求解方法掌握四类隐式方程的解法教学重点及难点：重点：四类隐方程通解的求法难点：求解四类隐式方程的变量替换法。教学基本内容方法及手段形如(1)),('yxfy(2)),('yyfx(3)0),('yxF,(4)0),('yyF的解法；例1:求解方程2)(22xdxdyxdxdyy例2.求解方程02)(3ydxdyxdxdy例3、求解微分方程2)(1dxdyxdxdy例4、求微分方程1))(1(22dxdyy讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：p58-593,4,6教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次6授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□√课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：复习第二章内容教学目的、要求：熟练掌握变量分离方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程，恰当方程的解法，掌握常数变易法教学重点及难点：常数变易法，恰当方程教学基本内容方法及手段1变量分离方程的解法2齐次方程的解法3线性方程的解法4伯努利方程的解法5恰当方程的解法讲练结合教学法作业和思考题：p62-633,9,15,25,29教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次7授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第三章一阶微分方程的解的存在定理§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的、要求：讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。熟练掌握Picard逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard逼近法求近似解，教学重点及难点：重点：Picard存在唯一性定理及其证明难点；逐次逼近分析法的应用及其思想教学基本内容方法及手段一阶微分方程的解的存在与唯一性定理解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。例题例1．讨论初值问题0)0(,22yyxdxdy解存在唯一区间。并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式，其中R：.11,11yx讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：p782,3教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次8授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：§3.2解的延拓教学目的、要求：讨论解的延拓定理，掌握解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解教学重点及难点：重点：解的延拓定理条件及其证明难点：应用解的延拓定理讨论解的存在区间教学基本内容方法及手段解的延拓定理与证明例1,讨论芳程,212ydxdy通过点(3,2ln)的解存在区间.例2,研究定义于区域-1x3中的方程2ydxdy经过点(0,0).(1,1)的解存在区间.讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：阅读教材内容教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次9授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：§3.3解过初值的连续性和可微性教学目的、要求：讨论解对初值的连续性与可微性定理，了解对参数的连续性定理理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条件。教学重点及难点：重点：解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的条件及其证明难点：解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的证明思想教学基本内容方法及手段解关于初值的对称性；解对初值的连续依赖性；解对初值的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理；解对初值和参数的连续性定理；解对初值的可微性；解对初值的可微性定理；讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：p933,4教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次10授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：§3.4奇解教学目的、要求：了解包络和奇解的定义，掌握它们的求法教学重点及难点：重点：包络和奇解的求法难点：奇解及其求法教学基本内容方法及手段包络和奇解的定义；奇解和包络的求法；克莱罗方程；例题1：求曲线族0)(32)(32cxcy的包络例2：求方程01)(22ydxdy的奇解；例3：求解方程_pxpy讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。传统板书作业和思考题：p100(二)1,2,4教学后记：填表说明：1.每项页面大小可自行添减；2.课次为授课次序，填1、2、3……等；3.授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案授课时间第周周第节课次11授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□√课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：复习第三章教学目的、要求：掌握解的存在唯一性定理与逐步逼近法，了解解过初值的连续性和可微性，了解解的延拓定理，了解包络和奇解的定义，掌握它们的求法教学重点