四川大学常微分方程教案

四四川川大大学学教教案案【首页】课程名称常微分方程授课专业数学学院年级大二课程编号课程类型必修课校级公共课（）；基础或专业基础课（√）；专业课（）选修课限选课（）；任选课（）授课方式课堂讲授（√）；实践课（）考核方式考试（√）；考查（）课程教学总学时数学分数学时分配课堂讲授学时；习题课，测验等学时教材名称《常微分方程》作者张伟年,杜正东,徐冰出版社及出版时间高等教育出版社.可选参考书[]..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.[]蔡燧林,常微分方程,杭州：浙江大学出版社,.[]丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.[]金福临、李训经,常微分方程,上海：上海科学技术出版社,.[]林武忠、汪志鸣、张九超,常微分方程,北京：科学出版社，.[]王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松,常微分方程(第二版),北京：高等教育出版社,.[]王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.[]叶彦谦,常微分方程讲义(第二版),北京：人民教育出版社,.授课教师张伟年职称教授单位数学学院授课时间年月—年月注：表中（）选项请打“√”四四川川大大学学教教案案【理科】周次第一周，第次课章节名称第一讲:§常微分方程模型授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求.了解常微分方程的一般形式.通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型教学内容提要一、问题的提出常微分方程的一般形式)函数方程(泛函方程):)微分方程常微分方程偏微分方程)阶常微分方程(阶方程)二、几个具体的例子例物体作水平运动例自由落体运动例弹簧振子的水平自由运动例天体运动中的二体问题例几何问题三、本讲习题教学重点与难点重点：了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。作业、选作题习题,,.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.四四川川大大学学教教案案【理科】周次第一周，第次课章节名称第二讲:§微分方程求解思想授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求.了解微分方程的精确解与近似解.微分方程的几何分析.给出微分方程形式的分类教学内容提要一、计算与近似计算.微分方程的解.微分方程的通解与特解.初值问题(问题).近似解二、几何分析.积分曲线.等倾线()水平等倾线，竖直等倾线例例三、微分方程形式.隐式微分方程.规范形式一阶方程.一阶微分方程组.线性微分方程一阶线性微分方程的规范形式四、本讲习题教学重点与难点重点：了解微分方程的精确解与近似解掌握微分方程形式的分类难点：在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分析作业、选作题作业：习题,，().选作题：求以初速度v0在空气中铅直上抛的物体的运动方程,其中物体质量为m,阻尼与速度的平方成正比,比例系数为k2.又问物体达到最高点的时间是多少？教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.四四川川大大学学教教案案【理科】周次第二周，第次课章节名称第三讲:§基本问题授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求.含有个参数的函数是一个阶微分方程的通解。.一个阶微分方程的通解包含个任意常数。教学内容提要一、主要结果事实:微分方程的通解含有任意参数问题:给一个含有任意参数的函数,是否能找到一个微分方程,使得这个函数正好是这个方程的解呢?定理二、证明思路行列式不为.建立方程组.求解参数补充:隐函数定理，联系数学分析相关知识。.解与方程的对应三、本讲习题教学重点与难点难点：了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个函数？作业、选作题作业：习题()().选作题：平面上安放长度为2a的细磁棒,如果撒上一些小铁钉,他们将按磁场的方向排列.可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷,磁量分别为和.试求出这个磁场满足的微分方程.进而,画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.四四川川大大学学教教案案【理科】周次第二周，第次课章节名称第四讲:§变量分离形式授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求.什么是方程的隐式解.什么是变量分离形式的方程.分离变量法.常数变易法.可化为变量分离形式方程的求解教学内容提要一、初等积分法初等积分法的定义微分方程的隐式解二、变量分离方程变量分离形式方程方程通解的求法方程特解的求法例例三、可化为变量分离方程的类型一阶线性微分方程常数变易法与常数变易公式例方程例齐次方程线性分式形式的微分方程例四、本讲习题教学重点与难点重点：变量分离形式方程的求解难点：方程的求解2齐次方程的求解3线性分式形式的微分方程的求解作业、选作题作业：习题,()()()()(),()()(),()(),()().选作题：设)(1xy,)(2xy是方程)()(xqyxpdxdy的两个互异解.求证对于该方程的任一解)(xy,下式,)()()()(121Cxyxyxyxy恒成立,其中C是某常数.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.四四川川大大学学教教案案【理科】周次第三周，第次课章节名称第五讲:§恰当方程形式授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求.什么是恰当方程2．如何判定微分方程是恰当的3．如何寻求恰当方程的解4．如何使方程变得恰当5．寻求特殊的积分因子教学内容提要一、恰当方程恰当方程(全微分方程)的形式与所满足的条件首次积分提出两个问题)如何判断一个微分方程是否为恰当方程？)若方程是恰当的,如何寻求全微分的原函数?二、恰当方程的判定定理定理判定微分方程是恰当方程的充分必要条件例二、积分因子法问题:有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程.这时我们问:是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢?积分因子结论问题:如何来寻求这些积分因子?特殊情况下的积分因子例其它情况进一步分析例四、本讲习题教学重点与难点重点：恰当方程的判定寻求积分因子难点：寻求积分因子作业、选作题作业：习题()()(),()()(),,选择题：假设微分方程yeydxdyxsectan有形如yeaxcos的积分因子,试确定其中的常数a,并求解该方程.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.四四川川大大学学教教案案【理科】周次第三周，第次课章节名称第六讲:§隐式方程授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求1．隐式方程2．隐式方程的化简教学内容提要一、隐式方程一阶隐式方程的形式求解思想)将dxdyp看成独立的变量)将代数方程0),,(pyxF所定义的曲面参数化)通过变量替换的方法把方程()化为导数已解出的显式方程)用上两节已给出的方法求解.具体求解方法二、几类可解的特殊的隐式方程可以解出的方程可以解出的方程不显含的隐式方程不显含的隐式方程例三、其他情形隐式方程中可解出dxdy，例隐式方程轮不显含，例教学重点与难点重点：隐式方程的求解作业、选作题教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.四四川川大大学学教教案案【理科】周次第四周，第次课章节名称第七讲:§初等积分法的一些应用授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求．方程的奇解与包络．利用初等积分法求解一些特殊的高阶微分方程．平面保守系统的轨道．方程的解教学内容提要一、奇解曲线族的包络包络的性质判别曲线例方程的奇解方程的奇解判别判别曲线例二、高阶微分方程求解的基本思想:)不显含未知函数的方程)不显含自变量的方程)齐次方程)全微分方程例，例三、平面保守系统一个具体例子相平面，轨道，相图更一般的情况四、方程方程的求解一种特殊情况结果五、本讲习题教学重点与难点重点；方程的奇解判别高阶微分方程求解的基本思想:作业、选作题作业：习题()()(),()(),()(),.选作题：)求解下列方程01)(5)()25dxdydxdya1)xybdxdy)试证若)(xy是方程yxpdxdysin)(的满足初始条件0)0(的解,则0)(x,其中)(xp在x上连续.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.四四川川大大学学教教案案【理科】周次第五周，第次课章节名称第八讲:§存在性与唯一性授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求．深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义;．理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提;．掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.教学内容提要一、问题的提出解的存在性为方程的求解提供理论基础；的存在唯一性是近似计算的前提。二、存在唯一性定理定理三、矩阵函数的性质四、定理的证明证明共分五步完成小结五、本讲习题教学重点与难点重点：线性系统解的存在唯一性定理难点：线性系统解的存在唯一性定理的证明作业、选作题作业：习题,,.选作题：设)(tx连续,且,|)(||)(|dxMLtxt其中L,M非负.试用逐步逼近法证明：.,|)(|)(tLetxtM教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,.四四川川大大学学教教案案【理科】周次第六周，第次课章节名称第九讲:§齐次线性方程组的通解结构授课方式理论课（√）；实践课（）；实习（）教学时数教学目的及要求.掌握齐次线性微分方程组解的叠加原理;2.理解向量函数线性相关和线性无关的概念;3.掌握行列式;4.掌握公式和定理.教学内容提要一、线性相关与无关的定义二、解的叠加原理定理的证明思路三、行列式四、定理定理的证明基解矩阵与标准解矩阵的定义初值问题的解说明:对定理的一点解释五、本讲习题教学重点与难点重点：齐次线性微分方程组解的叠加原理公式和定理.难点：行列式作业、选作题作业：习题,.选作题：设)(x)()(xttAt,A是周期连续的,且)(tX为基解矩阵,证明:)(tX也是基解矩阵且存在可逆矩阵C,使得CtXtX)()(.教学手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注..(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，.丁同仁、李承治,常微分