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1变量分离方程形式如d𝑦d𝑥=𝜙(𝑥)𝜓(𝑦)可分类讨论，当𝜓(𝑦)=0时，单独考虑是否为解，否则有d𝑦𝜓(𝑦)=𝜙(𝑥)d𝑥⇒∫𝑦𝑦01𝜓(𝜂)d𝜂=∫𝑥𝑥0𝜙(𝜉)d𝜉或者∫1𝜓(𝑦)d𝑦=∫𝜙(𝑥)d𝑥+𝐶注意：★以上两种形式是等价的，(𝑥0,𝑦0)的选取决定了𝐶的选取。另外要注意（特别是不定积分时）积分号内的𝜙(𝑥)与积分号外的𝜙(𝑥)不是等价的。以上两点注意贯穿整个常微分方程，不再重复提出。例：7.𝑦′=2√𝑦ln𝑥𝑦(𝑒)=1解：一：√𝑦=0，此时不满足初值条件，排除。二：原方程⇒d𝑦2√𝑦=ln𝑥d𝑥⇒𝑦1/2=𝑥ln𝑥−𝑥+𝐶（由初值）⇒𝑦1/2=𝑥ln𝑥−𝑥+1注意：两边可以不平方，甚至最好不要平方。（此处没有本质差别，但有些时候会有）2简单的特殊方程2.1齐次方程方程形式如d𝑦d𝑥=𝑓(𝑦𝑥)可以通过变量替换𝑦=𝑧𝑥于是d𝑦=𝑧d𝑥+𝑥d𝑧于是有𝑧+𝑥d𝑧d𝑥=𝑓(𝑧)是可变量分离方程。例：9.d𝑦d𝑥=2𝑥𝑦𝑥2+𝑦2解：令𝑦=𝑧𝑥，代入方程有原方程⇒𝑧+𝑥d𝑧d𝑥=2𝑧1+𝑧2⇒𝑥d𝑧d𝑥=𝑧−𝑧31+𝑧2（可变量分离）⇒⋯2.2一阶线性微分方程方程形式如𝑦′+𝑝(𝑥)𝑦=𝑓(𝑥)当𝑓(𝑥)为零时称为齐次方程，此时可利用变量分离法求解，得到通解𝑦=𝑐𝜙(𝑥)∶=𝑐exp(−∫𝑝(𝑥)d𝑥)★而当𝑓(𝑥)不为零时，猜测应当解有形式𝑦=𝑐(𝑥)𝜙(𝑥)，于是代入可以得到关于𝑐(𝑥)的方程，求解可得𝑐(𝑥)=∫𝑓(𝑥)exp(∫𝑝(𝑥)d𝑥)d𝑥+̃𝑐⇒𝑦=exp(−∫𝑝(𝑥)d𝑥)(∫𝑓(𝑥)exp(∫𝑝(𝑥)d𝑥)d𝑥+̃𝑐)注意：在已知一些解（通解或特解）后，通过猜测解的形式，获得一个对猜测项的方程，这也是一个常用技巧。常数变异法就是其中一种，后续会多次看到。另外这里有多个不定积分，但如果从变上限积分角度来看，实际待定量只有̃𝑐一个。2.3伯努利方程方程形式如d𝑦d𝑥+𝑝(𝑥)𝑦=𝑓(𝑥)𝑦𝑛𝑛≠0,1当𝑦=0时显然是解，否则可以两边同除以𝑦𝑛，也即令𝑧=𝑦1−𝑛，得到d𝑧d𝑥+(1−𝑛)𝑝(𝑥)𝑧=(1−𝑛)𝑓(𝑥)例：46.d𝑦d𝑥=𝑦2−𝑥2+1⇒d𝑧d𝑥=𝑧2+2𝑥𝑧解：令𝑢=𝑧−1，代入方程有原方程⇒d𝑢d𝑥+2𝑥𝑢=−1（一阶线性）⇒𝑢=exp(−𝑥2)(∫−exp(𝑥2)d𝑥+𝑐)⇒𝑦=𝑥+exp(𝑥2)(∫−exp(𝑥2)d𝑥+𝑐)−13★全微分方程（积分因子法）考虑𝑓(𝑥,𝑦)=0，对该式两边微分则有𝑓𝑥d𝑥+𝑓𝑦d𝑦=0𝑓𝑥=𝜕𝑓𝜕𝑥𝑓𝑦=𝜕𝑓𝜕𝑦我们知道如果𝑓足够好，就有𝑓𝑥𝑦=𝑓𝑦𝑥，反之如果方程𝑀d𝑥+𝑁d𝑦=0可以写成d𝑓(𝑥,𝑦)=0的形式，就需要有𝑀𝑦=𝑁𝑥,此时𝑓𝑥=𝑀于是𝑓=∫𝑀d𝑥+𝑐(𝑦)配合𝑓𝑦=𝑁即可求解。而如果方程本身不是全微分方程，我们希望找到一个𝜇(𝑥,𝑦)使得𝜇𝑀d𝑥+𝜇𝑁d𝑦=0是全微分方程，为此需要(𝜇𝑀)𝑦=(𝜇𝑁)𝑥⇒𝜇𝑦𝑀+𝜇𝑀𝑦=𝜇𝑥𝑁+𝜇𝑁𝑥这是一个对𝜇的偏微分方程，我们一般无法求解。但假如需要的𝜇是一个只依赖𝑥（或𝑦，类似）的函数，我们就有𝜇𝑀𝑦=𝜇𝑥𝑁+𝜇𝑁𝑥⇒𝜇𝑥𝜇=𝑀𝑦−𝑁𝑥𝑁反之，如果(𝑀𝑦−𝑁𝑥)/𝑁是一个只依赖于𝑥的函数，那么我们就可以通过上方程找到一个只依赖于𝑥的𝜇，从而化为全微分方程求解。例：25.(2𝑥𝑦d𝑥−3𝑥2d𝑦)+𝑦2d𝑦=0解：𝑀=2𝑥𝑦⇒𝑀𝑦=2𝑥,𝑁=𝑦2−3𝑥2⇒𝑁𝑥=−6𝑥,(𝑁𝑥−𝑀𝑦)/𝑀=−4/𝑦(𝑦≠0,仅依赖于𝑦)当𝑦=0,显然是解.否则𝜇𝑦𝜇=−4𝑦⇒𝜇=1𝑦4𝑓𝑥=𝜇𝑀=2𝑥𝑦3⇒𝑓=𝑥2𝑦3+𝐶(𝑦),𝑓𝑦=𝜇𝑁⇒−3𝑥2𝑦4+𝐶′(𝑦)=1𝑦2−3𝑥2𝑦4⇒𝐶(𝑦)=−1𝑦+𝐶𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2𝑦3−1𝑦+𝐶=0注意：实际上例如变量分离方程，一阶齐次微分方程都可以利用积分因子法求解。这说明积分因子法是一个相对普适的方法，也说明如果积分因子法不可行，一般来说要么有特殊的变量替换，要么没有初等解法。4其他特殊方程4.1涉及𝑦″或𝑔(𝑦′)的特殊方程方程形式如d2𝑦d𝑥2=𝑓(𝑥,d𝑦d𝑥)或d2𝑦d𝑥2=𝑓(𝑦,d𝑦d𝑥)这两种思想是一样的，首先令𝑝=d𝑦d𝑥，希望使方程成为只依赖于𝑝,𝑥（或𝑝,𝑦）的方程。前者直接满足，后者只需注意到d𝑝d𝑥=d𝑝d𝑦d𝑦d𝑥=𝑝d𝑝d𝑦于是变为普通的一阶方程。对于另一种问题（一般𝑔较复杂，因此不太可能用之前方法求解。）思路是类似的。令𝑝=d𝑦d𝑥，然后消去方程中的𝑥或𝑦即可。4.2一些特例例：46.d𝑦d𝑥=𝑦2−𝑥2+1解：这种方程本质上也是一种特殊的黎卡提方程，此处不加深入。这里可以通过发现𝑦=𝑥是一个特解，从而考虑变形𝑦=𝑧+𝑥。也可以为消去右端的1考虑𝑦=𝑧+𝑥，也可以观察发现可以凑出两个𝑦−𝑥从而考虑𝑦=𝑧+𝑥。从而变成伯努利方程从而求解。遇到实际问题时只能通过观察方程结构来尝试求解。5总结一阶微分方程求解一般就是各种方法一个个试，个人习惯先观察是否变量分离，齐次。若不是考虑是否可以找积分因子。若依然不行是否是伯努利，或者需要凑出变换。而如果出现二阶，要么可以用之后高阶的方法求解，要么立刻令𝑦′=𝑝。6常系数微分方程组求解-方法之一这里仅形式推导.6.1★齐次微分方程组𝑋′(𝑡)=𝐴𝑋(𝑡)𝐴∈𝑅𝑁×𝑁,𝑋∈𝑅𝑁它应当有形式解𝑋(𝑡)=exp(𝐴𝑡),有泰勒展开exp(𝐴𝑡)=𝐸+∑∞𝑛=1𝑡𝑛𝑛!𝐴𝑛.从而𝑋′(𝑡)=𝐴exp(𝐴𝑡)=𝐴𝑋(𝑡).注意这里exp(𝐴𝑡)是一个矩阵,所以它的每一列都是解,列的线性组合也是解.所以对任意常数向量𝐶,exp(𝐴𝑡)𝐶是一个解.考虑exp(𝐴𝑡)=exp(𝜆𝑡)exp((𝐴−𝜆𝐸)𝑡)=exp(𝜆𝑡)(𝐸+∑∞𝑛=1𝑡𝑛𝑛!(𝐴−𝜆𝐸)𝑛).于是当𝜂是𝐴对应于𝜆的特征向量的时候，exp(𝐴𝑡)𝜂=exp(𝜆𝑡)(𝐸+∞∑𝑛=1𝑡𝑛𝑛!(𝐴−𝜆𝐸)𝑛)𝜂=exp(𝜆𝑡)𝜂就是一个解.而对一个𝑘重特征值，它不一定能找到𝑘个线性无关的特征向量从而找到𝑘个解。但是通过代数知识我们知道(𝐴−𝜆𝐸)𝑘𝜂=0一定会有𝑘个线性无关的解。于是可以代入上式（此时求和仅求到𝑘−1，之后都是0），于是一样可以求得全部解。也可以（至少我觉得相对更简单）不直接计算(𝐴−𝜆𝐸)𝑘𝜂=0的解，而是一层一层往上。首先考虑(𝐴−𝜆𝐸)𝜂=0，它至少能找到一个线性无关解，代入上式后不需要考虑求和。再考虑(𝐴−𝜆𝐸)2𝜂=0，它能找到一个额外的线性无关的解，它只需要考虑求和到1，……6.2非齐次微分方程组假如已经找到Φ(𝑡)是一个基解矩阵(不一定是exp(𝐴𝑡)),那么我们亦有Φ(𝑡)𝐶是解.于是对于问题𝑋′(𝑡)=𝐴𝑋(𝑡)+𝐵(𝑡)𝐴∈𝑅𝑁×𝑁,𝑥∈𝑅𝑁,𝐵∈𝑅𝑁我们猜测解是Φ(𝑡)𝐶(𝑡),将其代入上方程,则𝐿𝐻𝑆=Φ′(𝑡)𝐶(𝑡)+Φ(𝑡)𝐶′(𝑡)=𝐴(𝑡)Φ(𝑡)𝐶(𝑡)+Φ(𝑡)𝐶′(𝑡)𝑅𝐻𝑆=𝐴Φ(𝑡)𝐶(𝑡)+𝐵(𝑡)⇒Φ(𝑡)𝐶′(𝑡)=𝐵(𝑡)⇒𝐶′(𝑡)=Φ−1(𝑡)𝐵(𝑡)⇒𝐶(𝑡)=∫Φ−1(𝑡)𝐵(𝑡)d𝑡⇒𝑋(𝑡)=Φ(𝑡)∫Φ−1(𝑡)𝐵(𝑡)d𝑡例：17.⎧⎪⎨⎪⎩d𝑥d𝑡+5𝑥+𝑦=exp(𝑡)d𝑦d𝑡−𝑥+3𝑦=exp(2𝑡)解：先考虑齐次方程d𝑋d𝑡=[−5−11−3]𝑋≡𝐴𝑋|𝐴−𝜆𝐸|=0⇒(−5−𝜆)(−3−𝜆)+1=0⇒(𝜆+4)2=0⇒𝜆1,2=−4(𝐴+4𝐸)𝜂=0⇒[−1−111]𝜂=0⇒𝜂1=[1−1]𝑋1=exp(𝐴𝑡)𝜂1=exp(−4𝑡)(𝐸+0)𝜂1=exp(−4𝑡)[1−1](𝐴+4𝐸)2𝜂=0⇒[0000]𝜂=0⇒𝜂2=[10]𝑋2=exp(𝐴𝑡)𝜂2=exp(−4𝑡)(𝐸+𝑡(𝐴+4𝐸)+0)𝜂2=exp(−4𝑡)[1−𝑡𝑡]通解为Φ(𝑡)𝐶∶=[𝑋1𝑋2][𝐶1𝐶2]=exp(−4𝑡)[11−𝑡−1𝑡][𝐶1𝐶2]，其中Φ(𝑡)就是一个基解矩阵。回到非齐次方程，考虑变系数法Φ(𝑡)𝐶(𝑡)，于是有⇒𝐶′(𝑡)=Φ−1(𝑡)[exp(𝑡)exp(2𝑡)]=exp(4𝑡)[𝑡𝑡−111][exp(𝑡)exp(2𝑡)]=exp(5𝑡)[𝑡1]+exp(6𝑡)[𝑡−11]⇒𝐶(𝑡)=∫𝐶′(𝑡)d𝑡=exp(5𝑡)[𝑡/5−1/251/5]+exp(6𝑡)[𝑡/6−7/361/6]+[𝐶1𝐶2]⇒𝑋(𝑡)=Φ(𝑡)𝐶(𝑡)=exp(𝑡)[4/251/25]+exp(2𝑡)[−1/367/36]+𝐶1exp(−4𝑡)[1−1]+𝐶2exp(−4𝑡)[1−𝑡𝑡]7常系数微分方程组求解-方法之二（高阶常系数微分方程）我们知道高阶微分方程可以化为一阶微分方程组,但反之一阶方程组也可以化为高阶方程,因此从高阶常系数微分方程入手.7.1★齐次高阶微分方程𝑛∑𝑖=0𝑎𝑖𝑦(𝑖)(𝑥)=0𝑦(0)=𝑦对于这样的方程,我们有理由猜测它应当有𝑦=exp(𝜆𝑥)这样形式的解,而如果的确有这样形式的解,则需要有𝑃(𝜆)=𝑛∑𝑖=0𝑎𝑖𝜆𝑖=0求解如上的方程,可以找到𝑚个解{𝜆𝑖}𝑚𝑖=1（不计重数）从而找到𝑚个线性无关的解{exp(𝜆𝑖𝑥)}𝑚𝑖=1。而假如𝜆𝑖是𝑘重根，那么除了之前已找到的解外还有{𝑡𝑗exp(𝜆𝑖𝑥)}𝑘−1𝑗=1也是解（它可以通过变系数法得到，这里不再推导）。7.2非齐次高阶微分方程如果非齐次项是𝑥𝑚exp(𝑏𝑥)或者是这种类型的线性组合，那么可以通过待定系数法求解。首先猜测解应当为∑𝑚𝑖=0𝐶𝑖𝑥𝑖exp(𝑏𝑥)的形式。当𝑏不是𝑃(𝜆)=0的根时，也就是说exp(𝑏𝑥)不是齐次方程的解时，就可以求出𝐶𝑖从而得到特解。而如果𝑏是一个根，特别的是一个𝑘重根时，应当猜测解为∑𝑚𝑖=0𝐶𝑖𝑥𝑖+𝑘exp(𝑏𝑥)的形式（这么猜测的原因见下例）。同样可以获得𝐶的取值。注意：这种待定系数法只适用于右端是如上形式的线性组合时的方程。例：24.𝑦″+2𝑦′+𝑦=2exp(−𝑥)解：先考虑齐次方程，求解多项式𝑃(𝜆)=𝜆2+2𝜆+1=0得𝜆1,2=−1，于是有线性无关的解exp(−𝑥),𝑥exp(−𝑥)，也即通解为̃𝑦=(𝐶1+𝐶2𝑥)exp(−𝑥)。对非齐次方程，本应猜测特解形如𝐶exp(−𝑥)，但它是通