24.1.4圆周角

地调学校数学教研组1.圆心角的定义?.OBC在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等（知一求三）。顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？预习与反馈知识回顾：预习效果反馈圆周角的概念圆周角定理推论：半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°;90°的圆周角所对的弦是圆的直径.OABCD思考：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．新课精讲圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.OABCD∠AOB呢？如图：∠ACB,∠ADB是（同一条弧AB）圆周角，⌒是AB所对的圆心角⌒练习：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ABCOABCOABCOABCODABCOD下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。ABCOABCO自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和圆周角分别是多少度？同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。分情况证明在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ABCOABCOABCO情况一：当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.ABCO∵OA=OC∴∠A=∠C又∠BOC=∠A＋∠C∴∠BOC=2∠A即∠A=∠BOC21情况二：ABCOD提示：作射线AO交⊙O于D。转化为第1种情况证明：由第1种情况得即∠BAC=∠BOC21∠BAD＝∠BOD21∠CAD＝∠COD21∠BAD＋∠CAD＝∠BOD＋∠COD2121情况三：证明：作射线AO交⊙O于D。由第1种情况得即∠BAC=∠BOC21∠BAD＝∠BOD21∠CAD＝∠COD21∠CAD－∠BAD＝∠COD－∠BOD2121ABCODABCOABCOABCO即∠BAC=∠BOC21在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．圆周角定理·ABCDEO·ABC1OC2C3半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．圆周角定理的推论推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。AOBC1C2C3∵AB是直径∴∠AC1B=900∵∠AC1B=900∴AB是直径推论2：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。DABOCEFF∵∠CAD=∠EBF∴CD=EF））CA'BB'AC'思考：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是AC≠A,C,⌒⌒如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.·ABCDO如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。思考：∠A+∠C=?∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°∵BAD+BCD=1800⌒⌒圆内接四边形的对角互补特别提示：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补。定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。CBADOEF∠D＋∠B＝180°∠A＋∠C＝180°∠EAB＝∠BCD∠FCB＝∠BAD对角外角内对角例1.如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．86102222ACABBC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB·ABCDO解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.1068例题讲解∴AD=BD.课后练习1.试找出下图中所有相等的圆周角。ABCD12345678∠2=∠7∠1=∠4∠3=∠6∠5=∠8练习2：（2）.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。OABCBAO.70°x（1）.求圆中角X的度数AO.X120°AO.X120°CCDB求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=90°.12已知：CO是△ABC的AB边上的中线，且CO=AB∴△ABC为直角三角形.CO=AB,1212练习3如图，如何确定一个圆形纸片的圆心吗？交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB合作交流1.如图，在⊙O中∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A.50°；B.80°；C.90°；D.100°ACBOD2.如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（）A.30°；B.60°；C.90°；D.45°CABPB反馈练习3.如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C＝30°,AB＝2,则⊙O的半径是。CABO25、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=__；4.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______；20°25°6.如图,⊙O中,∠A0B=80º,则∠ACB=____.140ºAOCBD7、判断（1）等弧所对的圆周角相等；（2）相等的弧所对的圆周角也相等；（3）900的角所对的弦是直径；（4）同弦所对的圆周角相等。OFCAEGOABCEDO1O2BAC8、在⊙O中∠CBD=30°∠BDC=20°,求∠A。OABDC解法1：∵∠CBD=300，∠BDC=200∴∠C=1800-∠CBD-∠BDC=1300∴∠A=1800-∠C=500（圆内接四边形对角互补）解法2：连结AC，则∠CAD=∠CBD=300∠BAC=∠BDC=200∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=500OABDC解法3：小结测试作业布置《练闯考》第55页1.如图,以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的位置关系是_____,OC与BD的位置关系是_____,若AC=2cm,则AD=__cm。ABCDOO1垂直平行4随堂练习3.如图,∠A=50°,∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A.70°B.110°C.90°D.120°2.如图AB,AC为⊙O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB,若∠ADB=300.则∠BOC=________。CABODEBACBODE1200随堂练习分析：同一条弧所对的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆周角所对的弧上.4.如图，AB是⊙O的直径,C和D是圆上的两点,若∠ABD=40°,求∠BCD的度数.ABOCD40°随堂练习分析连结AO，CO，由勾股定理不难得到△ABD为等腰直角三角形，则∠AOC==90°，又OA=OC，AC长度已知，则可以求出半径和直径.更一般的情况要用正弦定理来求.OCBAD5.如图，A，B，C三点在⊙O上，AD⊥BC于D，且AC=5，DC=3，AB=，求⊙O的直径.24随堂练习在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角.圆周角的概念圆周角定理推论：半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°;90°的圆周角所对的弦是圆的直径.复习巩固ABCD在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.则∠D=∠A∴AB∥CD如图,若AC=BD⌒⌒•例1如图，在⊙O中，∠BOC=50°,求∠A的大小.●OBAC解:∠A=∠BOC=25°.21ABOC如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿90度半圆（或直径）所对的圆周角是直角，９０角所对的弦是直径2.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC。∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？OCAB1234解：∠1=∠3∠2=∠4∠3=2∠412__12__即∠ACB=2∠BAC∠1=2∠2答：∠ACB=2∠BAC。练一练3.已知⊙O中弦AB的等于半径，求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。OAB圆心角为60度圆周角为30度或150度。练一练4.如图，∠A是圆O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。练一练5.如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°练一练2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB=CF,弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E。求证：BE=EC））OABDCEGFBE=EC∠EBC=∠ECBCF=BG））CB=BG））CB=CF））AB为直径CG⊥AB5、求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。CABO已知：如图，在△ABC中，点O是边AB的中点，且AB=2OC.求证：△ABC是Rt△.OCDBA如图：已知圆内接四边形ABCD，求证：∠A+∠C=180圆的内接四边形的对角互补。圆周角与圆心角的关系CBAO证明：（1）当圆心O在∠ACB的一边上时∠1是△OBC的外角,∠1=∠C+∠BOB=OC∠C=∠B∠1=2∠C=2∠C即所对的圆周角是它所对圆心角的1/21（2）当圆心O在∠ACB的内部时,即所对的圆周角是它所对圆心角的1/2CBA24211321)21(4321AOBACB21证明：作辅助线CBA（3）当圆心O在∠ACB的外部时,即所对的圆周角是它所对圆心角的1/2O132121DOBDCB）（1321DOBDCB24212134证明：作辅助线二、圆周角与圆心角的关系圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.CBAOCBAOCBAO