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2018年“数学花园探秘”科普活动初中年级组决赛试卷A（测评时间：2018年1月6日10:30—12:00）一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）1.算式33363102273390347的计算结果是__________．〖答案〗2〖作者〗北京朱雍容2.已知非零整数,,abc满足2221abcabc，则333abc的值为__________．〖答案〗11〖作者〗郑州程国根3.若关于,xy的方程组26534yxxkyx恰有四组解，则所有不同整数k的平方和是__________．〖答案〗6〖作者〗武汉卢韵秋4.若关于x的方程2112422xaxxxx恰有一个实数根，则满足条件的a的所有正整数值之和为__________．〖答案〗21〖作者〗上海方非二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）5.34202218xxx的最小值为M,那么不小于M的最小整数为__________．〖答案〗22〖作者〗北京班昌6.如图，ABCD是圆内接四边形，E是直线AC上一点，满足：直线BE与直线BD关于AB对称，且直线DE与直线BD关于AD对称．若15,20,24ABBCCD，则AD＝__________．〖答案〗7〖作者〗北京申井然ECADB7.一个数字不含0的两位数，恰等于它的数字和与其所有不同质因数和的乘积，那么这个两位数是__________．〖答案〗27〖作者〗北京陈景发8.普通骰子六个面上分别为1~6，同时投掷红、蓝两枚骰子时，会出现36种不同的投掷结果，两枚骰子的点数之和及其对应的结果种数如下：现在有黑、白两个特制的六面骰子，黑骰子上六个正整数中至少存在某两个相同，白色骰子上六个正整数各不相同，并且同时投掷黑白这两枚骰子时，得到的点数之和及对应的结果种数与上表相同，那么白色骰子上六个正整数之和是__________．〖答案〗27〖作者〗北京石文博三．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）9.已知x表示不超过x的最大整数．那么算式2!3!4!99!100!1!1!2!1!2!3!1!2!98!1!2!99!的计算结果是__________．〖答案〗4854〖作者〗广州黄达鹏10.如图，P为正方形ABCD内的一点，2220,18PAPC，当PB以及正方形的面积均为整数时，这个正方形面积的最大值为__________．〖答案〗37〖作者〗北京付宇11.四位数1234具有如下性质：把它的相邻数位依次写成三个两位数12,23,34，它们恰好构成一个等差数列．那么，具有这种性质的四位数abcd共有__________个．〖答案〗43〖作者〗北京叶培臣12.（评选题）点数之和23456789101112结果总数12345654321CDABP四．解答题（每小题15分，共30分）13.如图，△ABC中，2ABAC，AH是BC上的高，M是AC的中点，,HMBA的延长线交于点D，连结CD．求证：BCCD．〖答案〗〖作者〗上海叶中豪〖解析〗（证法不唯一）作AB边的中点N，连结CN，∴2212ABANABAC，又∵BACCAN，∴△ABC∽△ACN，∴ACBANC，又∵直角△AHC中，斜边中线MHMC，∴MCHMHC，即得DHCDNC，∴,,,CDNH四点共圆，∴CDNBHN，再连结HN，直角△ABH中，斜边中线NHNB，∴BBHN，即得BCDB，∴BCCD，证毕．〖评分建议〗由各地管委会自行酌情确定．MHACBDNMHACBD14.已知直线m交抛物线2yax于A、B两点，交x轴于C点，直线n交抛物线2yax于D、E两点，交x轴于F点,过C、F两点作x轴的垂线分别交抛物线于G、H，已知AD//x轴，直线AD与BE相交．求证：直线,BEGH与x轴三线共点．〖答案〗〖作者〗北京付宇〖解析〗不妨设点A、B、C、D、E、F的横坐标分别为1x、2x、3x、4x、5x、6x，则22222211223445563366,,,,,0,,,,,,0,,,,AxaxBxaxCxDxaxExaxFxGxaxHxax，由直线m过A、B两点，可得其斜率为12axx，代入C点坐标得212131axxxxax，∴2112311212xxxxxxxxx，同理可得45645xxxxx；由题意，直线BE不与x轴平行，其在x轴的截距为2525xxxx，直线GH在x轴的截距为3636xxxx；只需证36253625xxxxxxxx即36251111xxxx，∵AD//x轴，∴140xx，代入312645111111,xxxxxx立得结论，证毕．〖评分建议〗由各地管委会自行酌情确定．