2018全国Ⅱ卷文科数学高考真题

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A．B．C．D．2．已知集合，，则A．B．C．D．3．函数的图像大致为4．已知向量，满足，，则A．4B．3C．2D．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．B．C．D．6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A．B．C．D．7．在中，，，，则A．B．C．D．i23i32i32i32i32i1,3,5,7A2,3,4,5BAB353,51,2,3,4,5,72eexxfxxab||1a1ab(2)aab0.60.50.40.322221(0,0)xyabab32yx3yx22yx32yxABC△5cos25C1BC5ACAB423029258．为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A．B．C．D．9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A．B．C．D．10．若在是减函数，则的最大值是A．B．C．D．11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A．B．C．D．12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A．B．0C．2D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。、13．曲线在点处的切线方程为__________．14．若满足约束条件则的最大值为__________．15．已知，则__________．11111123499100S开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否1ii2ii3ii4ii1111ABCDABCDE1CCAECD22325272()cossinfxxx[0,]aaπ4π23π4π1F2FCPC12PFPF2160PFFC3122331231()fx(,)(1)(1)fxfx(1)2f(1)(2)(3)fff(50)f502lnyx(1,0),xy250,230,50,xyxyx≥≥≤zxy5π1tan()45αtanα16．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．SSASBSA30SAB△8nS{}nan17a315S{}nanSnSyytt1,2,,17ˆ30.413.5ytt1,2,,7ˆ9917.5ytPABC22ABBC4PAPBPCACOAC（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．20．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．21．（12分）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．POABCMBC2MCMBCPOM24Cyx：FF(0)kklCAB||8ABlABC32113fxxaxx3a()fx()fxxOyC2cos,4sinxθyθθl1cos,2sinxtαytαtClCl(1,2)l()5|||2|fxxax1a()0fx≥()1fx≤a绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．B9．C10．C11．D12．C二、填空题13．y=2x–214．915．16．8π三、解答题17．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始32y$y$环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．19．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．20．解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k0）．y$2322AC12AC222OPOBPB12AC23BC423253sinOCMCACBOM455455设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．21．解：（1）当a=3时，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f′（x）0；当x∈（，）时，f′（x）0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．2(1)4ykxyx2222(24)0kxkxk216160k212224kxxk212244(1)(1)kABAFBFxxk22448kk2(3)yx5yx00220005(1)(1)16.2yxyxx，0032xy，00116.xy，22(3)(2)16xy22(11)(6)144xy3213333xxx263xx323323323323323323323323323323210xx()0fx32301xaxx()gx3231xaxx2222(23)(1)xxxxx又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．22．解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．23．解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是22111626()0366aaa103C221416xycos0ltan2tanyxcos0l1xlCt22(13cos)4(2cossin)80ttCl(1,2)C1t2t120tt1224(2cossin)13costt2cossin0ltan2k1a24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx()0fx{|23}xx()1fx|||2|4xax|||2||2|xaxa2x()1fx|2|4a|2|4a6a2aa(,6][2,)