立体几何四个公理

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

第二节空间图形的基本关系与公理A组1.以下四个命题中,正确命题的个数是________.①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则A、B、C、D、E共面;③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.解析:①正确,可以用反证法证明;②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上.答案:12.给出下列四个命题:①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;②两条直线可以确定一个平面;③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.其中真命题的个数为________.解析:根据平面的基本性质知③正确.答案:13.(2009年高考湖南卷改编)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.解析:根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面,可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件.答案:54.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是________.解析:边长是正方体棱长的22倍的正六边形.答案:正六边形5.(原创题)已知直线m、n及平面α,其中m∥n,那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是________.解析:如图1,当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点;如图2,直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直,则已知平面α为符合题意的点;如图3,直线m、n所在平面与已知平面α平行,则符合题意的点为一条直线.答案:(1)(2)(4)6.如图,已知平面α、β,且α∩β=l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两腰,∴AB,CD必定相交于一点.如图,设AB∩CD=M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β,∴M∈α∩β.又∵α∩β=l,∴M∈l,即AB,CD,l共点B组1.有以下三个命题:①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;②直线l在平面α内,可以用符号“l∈α”表示;③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交,其中所有正确命题的序号是______________.解析:表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示,故②错误.答案:①③2.(2010年黄冈调研)下列命题中正确的是________.①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R,则P、Q、R三点共线;②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点,则这四条直线共面;③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面.解析:在①中,因为P、Q、R三点既在平面ABC上,又在平面α上,所以这三点必在平面ABC与α的交线上,即P、Q、R三点共线,故①正确;在②中,因为a∥b,所以a与b确定一个平面α,而l上有A、B两点在该平面上,所以l⊂α,即a、b、l三线共面于α;同理a、c、l三线也共面,不妨设为β,而α、β有两条公共的直线a、l,∴α与β重合,即这些直线共面,故②正确;在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定7个平面,故③错.答案:①②3.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交其中使三条直线共面的充分条件有:________.解析:易知①中的三条直线一定共面,④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:①④4.(2008年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得________.①a⊂α,b⊂α②a⊂α,b∥α③a⊥α,b⊥α④a⊂α,b⊥α解析:不相交的直线a、b的位置有两种:平行或异面.当a、b异面时,不存在平面α满足①、③;又只有当a⊥b时④才成立.答案:②5.正方体AC1中,E、F分别是线段C1D、BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是________.解析:直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.答案:相交6.(2010年湖南郴州调研)设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列四个命题:①若α⊥β,l⊥β,则l∥α;②若l⊥α,l∥β,则α⊥β;③若l上有两点到α的距离相等,则l∥α;④若α⊥β,α∥γ,则γ⊥β.其中正确命题的序号是________.解析:①错误,l可能在平面α内;②正确,l∥β,l⊂γ,β∩γ=n⇒l∥n⇒n⊥α,则α⊥β;③错误,直线可能与平面相交;④正确.故填②④.答案:②④7.(2009年高考广东卷改编)给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是________.解析:当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面垂直的判定定理可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.答案:②④8.(2009年高考宁夏、海南卷改编)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22,则下列结论中错误的是________.①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③三棱锥A-BEF的体积为定值④异面直线AE,BF所成的角为定值解析:∵AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D,∴AC⊥BE.故①正确.∵B1D1∥平面ABCD,又E、F在直线D1B1上运动,∴EF∥平面ABCD.故②正确.③中由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值.又点A到平面BEF的距离为22,故VA-BEF为定值.当点E在D1处,F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系,如图所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F12,12,1.∴AE→=(0,-1,1),BF→=(12,-12,1),∴AE→·BF→=32.又|AE→|=2,|BF→|=62,∴cos〈AE→,BF→〉=322·62=32,∴AE与BF成30°角.当E为D1B1中点,F在B1处时,此时E12,12,1,F(0,1,1),∴AE→=-12,-12,1,BF→=(0,0,1),∴AE→·BF→=1,|AE→|=32,∴cos〈AE→,BF→〉=23=63≠32.故④错.答案:④9.(2008年高考陕西卷改编)如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A、B到l的距离分别是a和b,AB与α、β所成的角分别是θ和φ,AB在α、β内的射影分别是m和n.若a>b,则θ与φ的大小关系为______,m与n的大小关系为______.解析:AB与β成的角为∠ABC=φ,AB与α成的角为∠BAD=θ,sinφ=sin∠ABC=a|AB|,sinθ=sin∠BAD=b|AB|.∵ab,∴sinφsinθ.∴θφ.AB在α内的射影AD=AB2-b2,AB在β内的射影BC=AB2-a2,∴AD.BC,即mn.答案:θ<φm>n10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,若A1C交平面DBFE于R点,试确定R点的位置.解:在正方体AC1中,连结PQ,∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点,同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ.又A1C∩平面BDEF=R,∴R∈A1C,∴R∈平面A1C1CA,R∈平面BDEF.∴R是A1C与PQ的交点.如图.11.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点,O为平面BCC1B1的中心.(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);(2)求PQ的长.解:(1)连结ON,由ON∥AD知,AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示).∵三个平面α,β和ABCD两两相交,有三条交线OP、CM、DA,其中交线DA与交线CM不平行且共面.∴DA与CM必相交,记交点为Q,∴OQ是α与β的交线.连结OQ与AN交于P,与CM交于Q,故直线OPQ即为所求作的直线.(2)在Rt△APQ中,易知AQ=1,又易知△APQ∽△OPN,∴APPN=AQNO=2,AN=52,∴AP=53,∴PQ=AQ2+AP2=143.12.(2008年高考四川卷)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四90°,BC綊边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=12AD,BE綊12FA,G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?(3)设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE.解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH綊12AD.又BC綊12AD,故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形.(2)C、D、F、E四点共面.理由如下:由BE綊12AF,G是FA的中点知,BE綊GF,所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面.又点D在直线FH上,所以C、D、F、E四点共面.(3)证明:连结EG.由AB=BE,BE綊AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形,故BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB两两垂直,故AD⊥平面FABE,因此EA是ED在平面FABE内的射影.根据三垂线定理,BG⊥ED.又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.由(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.由(2)知F∈平面CDE,故CH⊂平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.

1 / 7
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功