《线性代数与解析几何》复习要点

《线性代数与解析几何》复习要点一.行列式二.矩阵三.向量四.线性方程组六.二次型七.综合与提高五.(小结)初等变换在线性代数中的地位内容提要一.行列式《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式行列式定义性质计算方程组秩秩极大无关组线性相关性特征多项式伴随矩阵逆矩阵应用克拉默法则面积/体积矩阵向量组叉积/混合积几何一.行列式行列式的定义低阶一般一阶递推公式1221()12(1)nnjjjjjnjNaaa2211()12(1)nniiNiiiniaaa排列组合a11A11+a12A12+…+a1nA1na11A11+a21A21+…+an1An1数二阶三阶对角线法则《线性代数》《几何与代数》复习要点行列式的性质一.行列式性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则D=0.性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式推论.若行列式D中有两列元素成比例,则D=0.性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1na21…(a2i+ka2j)…a2j…a2n…………………an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1na21…a2i…a2j…a2n…………………an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1na21…ka2j…a2j…a2n…………………an1…kanj…anj…ann《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式例2.设D=a11…a1mam1…ammD1=……,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ci+kcj这类运算,把D1化为下三角形行列式:=p11pm1…pmm…...=p11…pmm,b11…b1nbn1…bnnD2=,……a11…a1m0…0……………………,am1…amm0…0c11…c1mb11…b1ncn1…cnmbn1…bnna11…a1mam1…ammD1=……《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式对D2施行ci+kcj这类运算,把D2化为下三角形行列式:b11…b1nbn1…bnnD2=……=q11qn1…qnn…...=q11…qnn,于是对D的前m列施行上述ci+kcj运算,再对D的后n列施行上述施行ci+kcj运算,可得:=p11…pmmq11…qnn=D1D2.a11…a1m0…0……………………D=am1…amm0…0c11…c1mb11…b1ncn1…cnmbn1…bnn.p11pm1…pmm…………=..0dn1…dnmqn1…qnnd11…d1mq11...《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A||B|.性质5.设A方阵,则|AT|=|A|.注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.《线性代数》《几何与代数》复习要点定理1.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n=…=an1An1+an2An2+…+annAnn=a11A11+a21A21+…+an1An1=a12A12+a22A22+…+an2An2=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.一.行列式《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式性质6.n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理2.设n阶行列式D=|[aij]|,则aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克罗内克(Kronecker)记号ij=1,i=j,0,ij.《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.(其中n2,xa).Dn=xa…aax…a………aa…x例3.计算n阶行列式《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式解:…×(1)…x+(n1)aaa…aa0xa0…0000xa…00………………000…xa0000…0xa==[x+(n1)a](xa)n1.Dn=xa…aax…a………aa…xx+(n1)aa…ax+(n1)ax…a………x+(n1)aa…x=《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.(未写出的元素都是0).例4.计算2n阶行列式D2n=ababcdcd行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式解:D2n==a............aabb0cc0dd00d...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d...…0bb00cc0….........……《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式=a............aabb0cc0dd00d...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)bcD2(n1)=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1D2=(adbc)n.《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式例5.证明n阶级(n2)范德蒙(Vandermonde)行列式Dn=11…1a1a2…ana12a22…an2…………a1n-1a2n-1…ann-1=(aiaj).nij1Dn=11…1a1a2…ana12a22…an2…………a1n-1a2n-1…ann-1证明:当n=2时,D2=(a2a1).现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则(a1)(a1)(a1)…《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式=111…10a2a1a3a1…ana10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn=11…1a1a2…ana12a22…an2…………a1n-1a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2a3…an…………a2n-2a3n-2…ann-2=111…10a2a1a3a1…ana10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)nij2=(aiaj).nij1《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式5.升阶.(其中a1a2…an0).Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an例6.计算n阶行列式3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式解:Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an=111…101+a11…1011+a2…1……………011…1+an(1)…《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式=111…101+a11…1011+a2…1……………011…1+an(1)…111…11a10…010a2…0……………100…an=“伞形”行列式Ilveit!《线性代数》《几何与代数》复习要点一.行列式=111…11a10…010a2…0……………100…an(1/a1)…(1/a2)(1/an)注意已知条件:a1a2…an0,否则不能1/a1,…,1/an!=[1+(1/ai)]a1a2an.…i=1n=1+(1/ai)00…01a10…010a2…0……………100…ani=1n《线性代数》《几何与代数》复习要点二.矩阵二.矩阵矩阵运算分块运算初等变换线性方程组向量空间应用标准形规范形正定性向量组秩线性表示线性相关性二次型特征值特征向量相似秩齐次非齐次线性变换坐标变换基变换《线性代数》《几何与代数》复习要点二.矩阵运算前提条件定义性质加法A+BA与B是同类型的对应元素相加A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+O=A;A+(A)=O数乘kAk是一个数用k乘A的每一个元素k(lA)=(kl)A;(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;(1)A=A乘法ABA的列数=B的行数(aij)ml(bij)ln=(cij)mncij=(AB)C=A(BC);A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(kA)B=k(AB)幂AmA是方阵,m是正整数A1=A,Ak+1=AkAAkAl=Ak+l;(Ak)l=Akl转置AT无(aij)mlT=(aji)lm(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT;(AB)T=BTAT多项式f(A)A是一个方阵,f(x)=asxs+…+a1x+a0f(A)=asAs+…+a1A+a0IA=()f(A)=f(),A=(),f(A)=Of()=0行列式|A|A是一个方阵,|A1|=|A|1逆矩阵A1A是一个方阵且|A|0若AB=BA=I则B=A1唯一性,(A1)1=A,(A1)m=(Am)1,(AT)1=(A1)T,(kA)1=k1A1,(AB)1=B1A1,满秩,特征值01nikkjkab矩阵的运算《线性代数》《几何与代数》复习要点二.矩阵行矩阵列矩阵零矩阵初等矩阵对称矩阵对角矩阵单位矩阵反对称矩阵正交矩阵正定矩阵可逆矩阵数量矩阵方阵《线性代数》《几何与代数》复习要点二.矩阵行矩阵A1n:只有一行,又名行向量.列矩阵An1:只有一列,又名列向量.零矩阵:每个元素都是0,常记为Omn或O.初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换所得.方阵:行数=列数.对称矩阵:AT=A.对角矩阵:diag{1,2,…,n},常用表示.数量矩阵:kE,kI,其中k为常数.单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是0,常记为E或I.反对称矩阵:AT=A.正交矩阵:QTQ=QQT=E.正定矩阵:AT=A且x有xTAx0.可逆矩阵:AB=BA=E.《线性代数》《几何与代数》复习要点二.矩阵矩阵的乘积向量组之间的线性表示(系数矩阵)线性变换的合成(z=By=BAx)二次型的矩阵表达式(f(x)=xTAx)不满足消去律结合律的妙用不满足交换律线性方程组的矩阵表达式(Ax=b)两组基之间的联系(过渡矩阵)有非平凡的零因子应用定义性质(T)k(P1AP)k向量的内积(,=T)实际问题(背景)《线性代数》《几何与代数》复习要点二.矩阵值得注意的现象:(1)AB和BA未必相等.(2)(AB)2和A2B2未必相等.例如:A=1100,,B=101011002000,A2B2=AB=1010=20004000.而(AB)2=2000=11001100=A,A2=1100=10101010=B,B2=1010=《线性代数》《