微分中值定理应用

LiaoningNormalUniversity（2011届）本科生毕业论文(设计)题目：微分中值定理的应用研究学院：数学学院专业：数学与应用数学班级序号：09数学23号学号：20091122060020学生姓名：李石指导教师：李劲松2011年5月i目录摘要....................................................................1Abstract（Keywords）.....................................................1前言.....................................................................21微分中值定理及其证明....................................................31.1罗尔定理...........................................................31.2拉格朗日中值定理...................................................31.3柯西中值定理.......................................................41.4泰勒公式...........................................................41.5常用微分中值定理及内在联系.........................................52微分中值定理的应用......................................................52.1证明方程根的存在性.................................................52.2证明不等式.........................................................62.3讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值..........................72.4求极限.............................................................82.5泰勒公式...........................................................82.6求近似值...........................................................92.7用来证明函数恒为常数...............................................92.8中值点存在性的应用................................................102.8.1一个中值点的情形............................................102.8.2两个中值点的情形............................................142.8.3含中值点的积分等式的证明....................................143小结...................................................................16参考文献.................................................................17致谢...............................................................18第1页微分中值定理的应用研究摘要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理,它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁.本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解。关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式Abstract（Keywords）：Themid-valuetheoremsisveryimportantinmathematicsanalysis,itisthebasictheoremcommunicationfunctionoftherelationshipbetweenitsderivativebridge.Thispaperintroducedthecaseformmid-valuetheoreminthemathematicalanalysis,thispaperdiscussestheapplicationofmid-valuetheoreminthelimit,proofinequality;anddeterminetheexistenceofrootfromseveralaspectssuchastheapplicationtodeepentheunderstandingofdifferentialmid-valuetheorem.KeyWords:Differentialmeanvaluetheoremin；Lagrange；Taylorformula微分中值定理的应用研究第2页前言微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。微分中值定理的应用研究第3页1微分中值定理及其证明为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分,微分中值定理作为微分学的核心,是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理,统称为微分学的中值定理,这四个定理作为微分学的基本定理,是研究函数形态的有力工具.1.1罗尔定理若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间ba,上连续；（ⅱ）f在开区间ba,内可导；（ⅲ）bfaf,则在ba,内至少存在一点使得0'f罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.证明：因为f在ba,上连续，所以有最大值M与m表示，现分两种情况来讨论：（1）若Mm,则f在ba,上必为常数，从而结论显然成立.（2）若Mm,则因bfaf使得最大值M与最小值m至少有一个在ba,内某点处取得，从而是f的极值点，由条件f在开区间ba,内可导，f在点处可导，故由费马定理推知0'f注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理—拉格朗日中值定理和柯西中值定理.1.2拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间ba,上连续；（ⅱ）f在开区间ba,内可导；则在ba,内至少存在一点使得abafbff'（1）显然，特别当bfaf时为罗尔定理。这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形.证明：做辅助函数axabafbfbfxfxF显然，bFaF(=0),且F在ba,上满足罗尔定理的另两个条件，故存在),(ba使''fF0abafbf，移项既得到所要证明的（1）式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线xfy上至少存在一点微分中值定理的应用研究第4页fp,，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中引入辅助函数xF，正是曲线xfy与直线axabafbfafyAB.1.3柯西中值定理设函数gf和满足：（ⅰ）f在闭区间ba,上连续；（ⅱ）f在开区间ba,内可导；（ⅲ）xgxf''和不同时为零；（ⅳ）),()(bgag则存在ba,，使得agbgafbfgf''证明：作辅助函数agxgagbgafbfbfxfxF.易见F在ba,上满足罗尔定理条件，故存在),(ba，使得0'''gagbgafbffF因为0'g（否则由上式'f也为零），所以可把上式改成agbgafbfgf''。注:若,Ix有)(xf=0，则.)(cxf若)()(xgxf则.)()(cxgxf.当函数f在,00000xxxxxfxfxfx可微，必有这表明f在0x的附近可用一次多项式逼近，现在，我们希望用更高多项式逼近，因为多项式在运算上最方便，且具有很好的性质.泰勒（1685-1731,英国数学家）最早考虑了这个问题.随着定理的不断深入，应该说泰勒公式才达到了中值定理的最后阶段.1.4泰勒公式若f在ba,上有直到n阶连续导数，在ba,上1n阶导数存在，则有,,,0baxx,)()!1()()(!)()(!2)()(!1)(10)1(00)(00000nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf其中.0之间与介于xx注意:.可取任意自然数n当时，0n)()()(),(!1)(fabafbfabfafbf即令时，得到马克劳林公式00x:.)!1()(!)0(!2)0(001)1()(2nnnnxnfxnfxfxffxf微分中值定理的应用研究第5页1.5常用微分中值定理及内在联系中值定理条件结论罗尔中值定理f在闭区间ba,上连续，ba,内可导),()(bfaf则),(ba，使得0)(f柯西中值定理则),(ba，使得0)(f则),(ba，使得.)()()(abafbff拉格朗日中值定理f，g在闭区间ba,上连续，ba,内可导，'g0，agbg则),(ba，使得.)()()()()()(agbgafbfgf泰勒公式f在ba,上有直到n阶连续导数，在ba,上1n阶导数bax,),(baaxkaFxfxfKnk!00axnfn!11关系柯西和泰勒都是拉格朗日的推广，拉格朗日是罗尔的推广表1-12微分中值定理的应用2.1证明方程根的存在性把要证明的方程转化为0xf的形式.对方程0xf用下述方法：（1）根的存在定