高代(一)期末试题

高等代数（一）期末试题一．填空题（每空2分，共20分）：1．在由几个不同元素组成的一个排列中，所有逆序的总数，叫做这个排列的（）。2．1020003400（）。3．设A为三阶方阵，det3A，则det(2)AA（）。4．若矩阵A的秩1r，则A的1r阶子式的值（）。5．设2是多项式43228xxaxbx的二重根，则a（），b（）。6．设,AB都是n阶可逆矩阵，矩阵00ACB的逆矩阵为（）。7．如行列式111213212223313233aaaaaadaaa，则111213212223313233333222aaaaaaaaa（）。8．设,ab是整数且（），那么存在一对整数q和r，使得baqr且（）。满足以上条件的整数q和r是唯一确定的。二．选择题（每小题2分，共10分）：1．一个n阶行列式，如果他的第1列上除了1111naa外其余元素都为零，那么这行列式等于（）。（A）1111(1)nnMM（B）111nAA（C）111nMM（D）1111(1)nnAA2．设3512A，则A的伴随矩阵*A（）。（A）3512（B）2513(C)2153(D)12353．初等方阵（）（A）都是可逆阵（B）所对应的行列式的值等于1（C）相乘仍为初等方阵（D）相加仍为初等方阵4．若集合|,FabiabR（这里R是实数集）是数域，则,ab应满足条件（）。（A）,ab是整数（B）,ab是有理数（C）a是有理数，b是实数（D）,ab是任意数5．设A是三阶方阵，*A是其伴随矩阵。A的所有二阶子式都等于零，则（）（A）*()1,()0rArA（B）*()1,()0rArA（C）*()1,()1rArA（D）*()2,()1rArA三．计算题（前三题8分，第4题6分，共30分。1.设三阶可逆方阵33()ijAa是主对角线上元素全为零的实对称矩阵，矩阵012B为对角阵，计算3ABI，并指出A中元素满足什么条件时，3ABI为可逆矩阵。2．求满足下列方程的矩阵X：223202111022311X3．,ab为何值时，线性方程组123112110125387xxaxb有唯一解，无穷多解，无解？有无穷解时，求出方程组的一般解。4.利用行列式的性质计算211000000000000nn………………四．证明题（每小题8分，共40分）1．设(),,,0,(),gxaxbabFafxFx求证：()gx整除2()fx的充要条件是()gx整除()fx。2．设()fx是复数域上的多项式，若对任意的实数c，()fc总是实数，求证：()fx是实系数多项式。3.设,,ABC均是n阶方阵，C可逆，且1CACB，证明：1mmCACB（这里m为正整数）4．设A是n阶矩阵且mnAI，求证*mnAI。5．设12,FF是两个数域，证明：12,FF的交集也是数域。高等代数（一）期末试题一．填空题（每空2分，共20分）：1．n阶行列式D=det()ija按第j列展开是（）2．设432()234fxxxxaxb，2()31gxxx，若()fx除以()gx后余式等于255x，则a（），b（）。3．已知实系数多项式3xpxq有一个虚根为32i，则其余两个根为（）和（）。4．排列5223146879的反序数为（）。5．设A是n阶方阵，12,XX均为线性方程组AXb的解，且12XX，则A的秩（）。6．det132214453中，（3，2）元素的代数余子式32A（）7．数环R一定包含（），数域一定包含（）数域。二．选择题（每小题2分，共10分）1．设A是n阶可逆矩阵，且det()(3)nA,那么det1()A()(A)(3)n(B)(1)3nn(C)13n(D)3n2.设,AB均是n阶方阵，则必有（）（A）det()ABdetAdetB(B)det()ABdetAdetB(C)()ABAB(D)()ABAB3.()fxdet213201xxxx中2x项的系数是（）（A）2(B)2(C)3(D)14.下列矩阵中可以化为有限个初等矩阵之积的矩阵是（）（A）123042(B)120013002(C)010101101(D)123021327v5.如果矩阵A中所有1r阶子式都等于零，则A的秩一定满足（）（A）秩Ar（B）秩Ar(C)秩Ar（D）秩Ar三．计算题（前三题8分，第四题6分，共30分）：1．用克莱姆法则解线性方程组：12312312302020xxxxxxxxx2．解线性方程组，求出一般解：3．111111222222333333,abcabcAabcBabcabcabc且det2A,det3,B求det(2)AB.4.设1100010000200003A，求A的n次方。四．证明题（每小题10分，共40分）：1．证明：数域F上任意一个不可约多项式在复数域中无重根。2．设方阵A满足220AAI，证明：A及2AI都可逆，并求A及1(2)AI。3．设A是可逆矩阵，证明：A的伴随矩阵A可逆，且11()()AA。4．设:,:fABgBC是映射，又令hgf,证明：（1）如果h是单射，那么f也是单射；（2）如果h是满射，那么g也是满射。标准答案：一．1．（B）2.(B)3.(A)4.(B)5.(A)二．1．反序数2．1100410021003A3．det3(2)(2)Adet(8)(3)24A4．至少有一个不等于零5．6,16ab6．11100BCA7．31323331323321222321222311121311121333322266aaaaaaaaaaaadaaaaaa8．0,0ara三．1．121312131213312233233231323232300021201002012020001aaaaaaABIaaIaIaaaaa3ABI可逆1213223232323121001212201aaaaaa2．1223202111022311X而11100011101022223100111010311111101000112001100101222231100102203100112000112001120206203111211022410225122040X3．方程组的增广矩阵为1121112110120111538700Aabab0a时唯一解，0,0ab时无解，0ab时有无穷解，且112110120111011100000000A对应的方程组为132321xxxx一般解为132321xxxx这里3x为自由未知量4．1221111000000000000nnnnnD…………………四．1．设()()()fxgxqxr，则2222()()()2()()fxgxqxrgxqxr由2()|()gxfx有2()|gxr，所以20r，故0r.()|()gxfx.2．设1110()nnnnfxaxaxaxa…令1,2,,xn…，则有11011101110(1)222(2)()nnnnnnnnnnaaaafaaaafnananaafn……………………………这是以01,,,naaa…为未知量的线性方程组，其系数行列式为111111222101nnnnnnn……………………方程组有唯一解，是实数，所以()fx是实系数多项式。4．由mAI得1mA。又*1AAA.*1()()mmmAAAI5．设12,FF是两个数域，则1212120,1,0,1,0,1,FFFFFF。12,abFF有1,,(0)aababbFb且2,,(0)aababbFb12,,(0)aababbFFb。所以12FF是数域。标准答案（二）：一．1．11jjnjnjDaAaA…2．5,6ab3．32,6i4．反序数为75．小于n6．323212(1)(44)824M7．数0，有理数域二．1．（B）2.(A)3.(A)4.(B)5.(C)三．1．系数行列式为1112119112D而常数项全为零，1230xxx2．方程组的增广矩阵为312014121125361310010451015500000A对应的方程组为124332454xxxx于是一般解为124332454xxxx24,xx为自由未知量3．det111122223333233(2)23372233aabcABaabcaabc4.12110000100000200003AAA,1200nnnAAA而12120,0103100010000200003nnnnnnnnAAnA四．1．设()fx是F上的不可约多项式，则()fx在F上没有重因式，于是((),())1fxfx在复数域上也有((),())1fxfx。没有重因式，于是没有重根。2．1()2AAIIA∵可逆，且11()2AAI。又22AIA。由A可逆有22AAI可逆。1211221(2)()()()4AIAAAI。3．*AA∵det1**111()detdetAAAAIAAAA同理11*11*1*11()(det).()(det)()detAAAIAAAAAA4．（1）12,,xxA若12()()fxfx，则1122()(())(())()hxgfxgfxhx而h是单射，12xx，即f是单射。（2）,zC由h是单射，有xA，使()()(())zhxgfxgfx而(),fxBg是满射。