2平面与平面垂直的判定

2．3.2平面与平面垂直的判定一、阅读教材P67～69，回答：1．从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做，这两个半平面叫做．棱为l，面分别为α、β的二面角记作：.2．在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作，则叫做二面角的平面角．二面角的大小用其来度量．其取值范围为．半平面棱二面角的面α－l－β垂直于棱l的射线OA和OB射线OA和OB构成的∠AOB平面角[0°，180°]3．平面角是的二面角叫做直二面角．如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，就称这两个平面．4．二面垂直的判定①平面角是直角②判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直．直角互相垂直垂线二、解答下列问题1．过平面α外一点P，作与α垂直的平面可以作出个，所作的垂直于α的平面有什么共同特点？．无数都经过过P与α垂直的直线2．直线l⊄平面α，过l能否作出平面β⊥α？若能作出，可作几个？(1)l⊥α时，能作无数个．(2)l与α斜交时，只能作一个．3．已知空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，且E是CD的中点，求证：(1)平面ABE⊥平面BCD；(2)平面ABE⊥平面ACD.[解析]如图．∵AC＝AD，BC＝BD，E是CD的中点．∴AE⊥CD，BE⊥CD，∴CD⊥平面ABE，∵CD⊂平面BCD，CD⊂平面ACD，∴平面ABE⊥平面BCD，平面ABE⊥平面ACD.本节学习重点：二面角的概念和面面垂直的判定．本节学习难点：①二面角的找法．②综合应用．1．二面角的概念是平面几何中角的概念的扩展和延伸，现将二者比较如下表.角二面角图形定义从平面内一点出发的两条射线所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形表示法由射线——点(顶点)——射线构成，表示为∠AOB由半平面——线(棱)——半平面构成，表示为二面角α－a－β2.由定义可知，一个平面垂直于二面角α－l－β的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则∠AOB就是二面角α－l－β的平面角．二面角的平面角的大小与棱上一点位置的选取无关．3．计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角．(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角．4．求二面角的思路是“一作、二证、三算”．[例1]如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.求证平面PAC⊥平面ABC.[分析]设P在平面ABC内射影为O，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O为Rt△ABC的外心，即AC中点．[证明]取AC中点O，连接PO，OB.因为AO＝OC，PA＝PC，所以PO⊥AC.因为∠ABC＝90°，所以OB＝OA.又PB＝PA，PO＝PO，所以△POB≌△POA，所以∠POB＝∠POA，即PO⊥OB.所以PO⊥平面ABC.因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.已知Rt△ABC中，AB＝AC＝1，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕将△ABD折起，使∠BDC成直角．求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60°.[证明](1)如图(1)，∵AD⊥BC，∴折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC.∵平面ABD和平面ACD都经过AD，∴平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.(2)如图(1)，在直角三角形BAC中，∵AB＝AC＝1，∴BC＝2，BD＝DC＝22.如图(2)，△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝2BD＝2×22＝1.∴AB＝AC＝BC.∴∠BAC＝60°.[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，O为AC与BD的交点，求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H；(3)A1O⊥平面BDF；(4)平面BDF⊥平面AA1C.[解析](1)设O1为上底面的中心，连结O1G，BO1，则O1G綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴O1G綊BE，∴EG∥BO1，而BO1⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D.∴EG∥平面BB1D1D.(2)B1D1∥BD，且B1D1与BD分别为平面BDF外与平面BDF内的直线，∴B1D1∥平面BDF，又由O1H∥AC1，OF∥AC1，∴O1H∥OF，而OF⊂平面BDF，O1H⊄平面BDF，∴O1H∥平面BDF，又B1D1交O1H于O1点，∴平面BDF∥平面B1D1H.(3)设正方体的棱长为a，在Rt△A1AO中，A1O2＝32a2，在Rt△OCF中，OF2＝34a2，在Rt△A1C1F中，A1F2＝94a2，于是A1O2＋OF2＝A1F2⇒A1O⊥OF，又BD⊥A1O，BD与OF相交于O点，∴A1O⊥平面BDF.(4)由(3)知，A1O⊥平面BDF，而A1O在平面AA1C上，∴平面BDF⊥平面AA1C.[点评]线线、线面、面面三者之间的关系如下所示：近几年高考立体几何题注重融推理与运算于一体，论证中有运算，运算中有概念的准确理解和定理的正确运用，推理与运算交互为用，相辅相成．本题第(3)问就是一典型范例.[例3]三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，对角线AC＝a，BD＝a，求二面角A－BD－C的大小．[分析]据二面角的平面角定义，应在两个面ABD与BCD内过棱BD上一点作棱BD的垂线，据题设条件AB＝AD，BC＝CD，只要取BD中点O，即可得到垂线，然后通过解三角形求出角的大小．[解析]取BD的中点为O，分别连AO、CO∵AB＝AD，BC＝CD∴AO⊥BD，CO⊥BD∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角∴OA2＋OC2＝AC2∴∠AOC＝90°即二面角A－BD－C的大小为90°.总结评述：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A－BD－C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得∠AOC，其解题过程为：作∠AOC→证∠AOC是二面角的平面角→计算∠AOC，简记为“作、证、算”．平面P内有一个圆，直径为AB，过A作SA⊥平面P，C为上任意一点，连结SB、SC，(1)求证：平面SAC⊥平面SBC；(2)若A在SB、SC上的射影分别为E、F，求证：∠AEF为二面角C－SB－A的平面角．[解析](1)∵SA⊥平面P，BC⊂平面P，∴SA⊥BC.又AB为圆的直径，故BC⊥AC，因此BC⊥平面SAC，可得平面SAC⊥平面SBC.(2)∵BC⊥平面SAC，AF⊂平面SAC，∴BC⊥AF，又∵AF⊥SC，SC∩BC＝C，∴AF⊥平面SBC，∴AF⊥SB.又AE⊥SB，∴SB⊥平面AEF.∴∠AEF为二面角C－SB－A的平面角．[例4]如图：一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路行走20米后升高了多少米？[解析]如图，作BH⊥水平面，垂足为H，过H作HC⊥坡脚线，垂足为C，连BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC知，AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC∴∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角∴∠BCH＝30°在Rt△ABC中和Rt△BCH中，∵AB＝20∴BC＝10，∴BH＝5(米)，答：升高了5米．[例5]如图，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．[分析]由CD∥AB可知，CD∥平面PAB，设平面PCD∩平面PAB＝l，则CD∥l，∴AB∥l，故只须在平面PAB内过P作PQ∥AB，则PQ为二面角的棱，由PA⊥平面ABCD知PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，即知PQ⊥平面PAD，∴∠APD为二面角的平面角．[解析]过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥PQ∴PQ为平面PCD与平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，又∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面PAD，∴∠APD为二面角D－PQ－A的平面角．∵AD＝AB＝PA，∠PAD＝Rt∠，∴∠APD＝45°，即平面PAB与平面PCD所成二面角大小为45°.总结评述：此题易证AB⊥平面APD，∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面APD.PA与PD是垂直于二面角的棱PQ的平面与二面角的两个面PAB和PDC的交线，这两条交线所成的角，就是二面角的平面角．也就是说，作一个平面与二面角的棱垂直，这个平面与二面角的两个面的两条交线所成的角为二面角的平面角或其补角．解法探究：如下图将原图形补成正方体ABCD－PQRS，那么本例的解题途径能更简捷地得到，这种补形法是解决空间问题的一种重要方法．[例6]二面角α－l－β与γ－a－δ满足平面α⊥平面γ，平面β⊥平面δ，且两二面角大小分别为θ1和θ2，则θ1和θ2的关系为________．[错解]在如图(1)位置时，θ1与θ2互补；在如图(2)位置时，θ1与θ2相等，故填θ1＝θ2或θ1与θ2互补．[辨析]将平面几何中的命题(“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”)错误类比到立体几何中，事实上，它在立体几何中是不成立的．满足条件的平面位置关系还有其它情形．如图(3)，只要直线a⊥平面α，且平面β⊥平面δ，过a任作一个平面γ均适合条件，由于二面角γ－a－δ的大小可随意改变，因此，满足题设条件的两个二面角的平面角的大小关系是不确定的．[正解]θ1与θ2的大小关系不能确定只要直线a⊥平面α，且直线l⊥平面δ，过a任作一个平面γ均适合条件，由于二面角γ－a－δ的大小可随意改变，因此，满足题设条件的两个二面角的平面角的大小关系是不确定的．一、选择题1．二面角是指()A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形B．一个半平面与另一个半平面组成的图形C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形D．两个相交平面组成的图形[答案]C2．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对[答案]D[解析]平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面PBC，故选D.二、填空题3．下列四个命题中，正确的命题为________(填序号)．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ②α∥β，β∥γ，则α∥γ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ[答案]①②三、解答题4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面ACD1⊥平面BDD1B1.[解析]∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面BDD1B1又AC⊂平面AD1C，∴平面AD1C⊥平面BDD1B1.5．(09·江苏文)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.[解析](1)∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵直三棱柱ABC－A1B1C1，∴BB1⊥平面A1B1C1，∴BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.