2019年重庆市专升本《高等数学》试题分析

2019专升本《高等数学》试题分析与建议1.引言2019年“专升本”考试已经结束了，我们也看见了《高等数学》原题，考生普遍反映试题偏难，许多考生没有做完。2.试题情况分析表格1知识点分数统计表对考试题做知识点、分数和章节内容统计，详见表格1和表格2从表格2错误!未找到引用源。可以看出概率初步只占到总分的6.67%，未达考纲要求的10%，差了一个填空或选择题；线性代数占20%，与考纲要求一致；《微积分》超过了70%，依旧是考试的重点。从分值上来说，基本符合考纲要求，保持了专升本试题的稳定性。3.各章节试题分析共考了12分，分别为选择题的第2小题与计算题的13小题第2小题为分段函数在分点处连续，求值。题号内容分数章节1洛必达法则403导数的应用2点连续401极限与连续3直线与平面的关系412空间解析几何4定积分对称区间积分405定积分应用5微分方程的通解406微分方程6级数收敛407级数7二阶伴随矩阵410线性代数8事件发生的集合表示411概率初步9极值点的导数403导数的应用10变上限积分函数405定积分应用11三阶矩阵的秩，确定未知数410线性代数12两事件不同时发生的概率411概率初步13重要极限公式2801极限与连续14原函数求不定积分804积分15围成图形的面积805定积分应用16二元函数的极值808多元微分学17二重积分计算809多元积分学18二阶常系数齐次线性微分方程806微分方程19矩阵相乘与逆矩阵810线性代数20线性方程组无穷多解810线性代数21导数应用证明不等式803导数的应用2.1.统计情况3.1.极限与连续表格2章节分数统计表本出题人本意考查，重要极限公式1，无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量，左、右极限相等并等于该点处的函数值。这个题包含的知识点很多。但由于设计的参数不好，学生只需要一个条件就可判断出答案为1。其它考点内容可以不用，有点可惜。本题考查学生对重要极限公式2的应用，为常规题，8分，简单题，只要平时训练过，应该不会有错。一般有两种方法。法一2933292633222331122limlim111122xxxxxexxeexx→→−−−++===−−法二213364244lim1lim12121xxxxxx−+→→+=+−−61.51e=6e=共有16分，分别为考题的第1小题考点为洛必达法则应用4分，第9小题序号章节分数百分比1极限与连续1210.00%2导数及其应用1613.33%3积分86.67%4定积分应用1613.33%5微分方程1210.00%6级数43.33%7多元微分学86.67%8多元积分学86.67%9线性代数2420.00%10概率初步86.67%11空间解析几何43.33%总计120100.00%3.2.导数及其应用极值点的导数4分共第21小题证明不等式8分。第1小题极限201cos2lim()xxx→−=.1A−.0B.2C.4D分析：极限中的00型，三角函数的00型，一股用到重要极限公式0sinlim1xxx→=，而此题用洛必达求导的方法快。法一222001cos22sinlimlim2xxxxxx→→−==（要熟知三角函数的升降次公式）法二()()220001cos21cos22sin2limlimlim22xxxxxxxxx→→→−−===故，选C。第9小题为填空题，设0x为函数()fx的一个极值点，且0()fx存在，则0()_____fx=分析：极值只能在驻点与不可导点处取得，现说导数存在，那就只能是驻点，故为0。送分题。第21题，证明：当1202xx时，2211sinsinxxxx分析：显然要用一阶导数的单调性，构造2121sinsinxxxx法来处理证明：令函数sin()xfxx=，在区间0,2上，该函数为连续函数，其导数为2cossin()xxxfxx−=现在要证()0fx，即证分子小于0。若记()tangxxx=−，在区间0,2上，因为22()sec1tan0gxxx=−=对于任意的02x，均有(0)()ggx，即：()tan0gxxx=−那么，在0,2内，有sincosxxx得2cossin()0xxxfxx−=，函数sin()xfxx=，在区间0,2内在为单调递减函数。有当1202xx时，2121sinsinxxxx即2211sinsinxxxx得证。积分方法的考查，为第１４小题，共８分。考查了原料函数的概念，分部积分法与凑微分法，复合函数的结构与复合的导数。已知2sinx为函数()fx的一个原函数，求()xfxdx不定积分分析：首先2sinx本质上是2sin()x，其次，()2sin()xxfx=与2()sinfxdxxC=+，第三()()fxdxdfx=，不定积分被积表达式要重构，用到分部积分法解由题意得()22()sin2cosxfxxxx==故()()xfxdxxdfx=()()xfxfxdx=−2222cossinxxxC=−+这个题出得好，考查的点多，稍微分析一下，也易上手。3.3.积分共有１６分，分别为选择题第４小题对称区间积分的性质４分，填空题第１０小题，定积分的变上限积分函数的洛必达法则求极限４分以及计算题的１５小题，围成区域的面积８分。第４小题，下列定积分为零的是（）11.cosAxxdx−11.sinBxxdx−121.(sin)Cxxdx−+11.(cos)Dxxdx−+分析：定积分在对称区间上，奇函数的值为零，偶函数的值为半个区间积分值的２倍。故选A。第１０小题，极限()00lim______1cosxttxeedtx−→−=−分析：变上限积分函数的00型的极限。用变上限积分函数是被积函数的一个原函数的性质与洛必达法则。()0000limlimlim21cossincosxttxxxxxxxeedteeeexxx−−−→→→−−+===−第15小题，设D是由抛物线24yx=−和2yx=+直线所围成的平面图形，求D的面积S分析：示意图，找到交点坐标，选积分变量，积分求解。解：相交点坐标为(2,0),(1,3)−，以x为积分变量，积分区间为2,1−，所得面积为122(4)(2)Sxxdx−=−−+122(2)xxdx−=−−123211223xxx−=−−92=3.4.定积分应用21121234微分方程共考察12分，一个为第5小题的一阶线性的通解4分，另一个为第18小题的二阶常系数线性齐次的特解8分。第5小题，微分方程3dyydx=的通解为（）A．3yxc=+B．3xyec=+C．yCx=D．3xyCe=法一将备选答案代入，得选项D。法二分离变量法，求解。33ln3xdydxyxcyCey==+=第18小题，求微分方程440yyy++=满足初始条件(0)0,(0)1yy==的特解分析二阶齐次常系数线性微分方程求解，一般采用特征值法。解对应的特征方程为2440++=，其根为122==−，对应的微分方程通解为()221xyCCxe−=+代入(0)0,(0)1yy==，得120,1CC==，得方程的特解为2xyxe−=级数只考了4分，为第6小题，问级数的收敛性。第6小题，已知级数11nna=收敛，则()A．01aB．01aC．1aD．1a法一特殊值法，比如12a=，代入后，显然不收敛，故选D。法二无穷等比数列求和公式，判断分析选D。3.5.微分方程3.6.级数3.7.多元微分考察了多元函数的极值8分。主要涉及一阶偏导数，二阶混合偏导数，要判别极大值还是极小值。第16小题，求函数22(,)(4)xfxyexyy=++的极值。解函数的一阶偏导数为222(2281),(24)xxxyfexyyfey=+++=+二阶偏导数为22224(41),(48),2xxxxxyyxyfexyyffeyfe=+++==+=令0,0xyff==，得3.5,2xy==−，代入二阶偏导数，得720Ae=，0B=，72Ce=,且0ACB−，故有极小值为：7(3.5,2)2ef−=考察了二重积分的计算，常规题，8分。对区域点的描绘先后次序，决定了积分变量的先后，两种方式均可以算出。第17小题，计算二重积分23Dydxdy，其中积分区域D是由两坐标轴及直线1xy+=所围成和平面闭区域。方法一，积分区域(,)01,0y1Dxyxx=−11220033xDydxdydxydy−=()()13013041011110414xdxyxdxx−==−=−−=方法二(,)01,0x1Dxyyy=−3.8.多元积分0.20.20.40.60.81.01.20.20.20.40.60.81.01.2()1122001201203333(1)331340414yDydxdyydydxydyyyydyyy−==−=−=−=共有20分，分别为选择题的第7小题4分，计算题的19小题8分、20小题8分第7小题，设A是二阶方阵，已知12512A−=，则A的伴随矩阵*()A=A．2512−−B．2512−−−−C．2512−−D．2512因为11*AAA−=，又111AAEAAE−−=→==，而11251,112AAA−−=→=−=−所以，12525*11212AAA−−−==−=−−，选B。验证：若abAcd=，则*dbAca−=−，12511121dbAcaA−−==−−，对比原逆矩阵，知2512A−=−第19小题，设矩阵111111111A=−−，123124101B=−−，求（1）TAB；（2）1A−考察内容太多，分值太少，特别是乘法的计算，没有多大意义。注意矩阵是对称矩阵，逆矩阵，要算行列式，伴随矩阵法，（1）111123108111124106111101340TABAB==−−−=−−3.9.线性代数（2）伴随矩阵法，4A=−，逆矩阵存在。而1111011A−==−，1211211A−=−=−，1311211A==−−，同理，得3121222332332,0,2,2,2,0AAAAAA=−===−==所以，得)102211*2024220AAA−−−==−−−初等行变换，()21312323123/2/211111001110101110011111000021100201011111000100.500.50010.50.5010000.50.50100.500.50010.50.5000.50.rrrrrrrrrrrAEA−−−−−=−−⎯⎯⎯→−−−−⎯⎯⎯→−−⎯⎯⎯→−−=50.500.50.50.50−−第20小题，当实数a取何值时，线性方程组123123123322axxxaxaxxxxax++=−++=−++=−有无穷多个解？在有无穷多个解时，求其通解。方程组具有一定和特点，可以由方程的变形后来讨论1231231233(1)2(2)2(3)axxxaxaxxxxax++=−++=−++=−将第2、3个方程均加到第1个方程中，第3个方程减去第2个方程，得：12312323(2)(2)(2)72(1)(1)0axaxaxaxaxxaxax+++++=−++=−−+−=观察，当1a=时，其方程组为1231232333362000xxx