向量的直角坐标运算

向量向量向量7.3.2向量的直角坐标运算1.在平面直角坐标系内,点A可以用什么来表示?ba2.平面向量是否也有类似的表示呢?OxyAa(,)ab3.平面向量分解定理的内容是什么?（一）向量的直角坐标在直角坐标系内，我们分别(1)取基向量:与x轴,y轴方向相同的(2)得到实数对：任作一个向量,a其中叫做在x轴上的坐标，叫做在y轴上的坐标．1aa2aa),(21aaa（1）（1）式叫做向量的坐标表示.1e2ea1e2e，叫做直角坐标平面上的基向量．Oxy1e2e两个单位向量，作为基向量．1a2aa我们把(,)叫做向量的坐标，记作2211eaeaa1a2a、，使得由平面向量基本定理，有且只有一对实数1e2eyx01．如图：，是直角坐标平面上的基向量，你能写出1e2e，，的坐标吗？1e2e0，)0,0(0).1,0(2e，)0,1(1e2．向量的坐标与点的坐标之间有何关系？设点A的坐标为),(yxA则),(21yxeyexOA结论：一一对应向量的坐标OA),(yxA点2ey1ex),(yxAyx0并求出它们的坐标．例1如图，用基向量，分别表示向量1e2eacdcba,,,；)3,2(3221eea1e2ebd解：；)3,2(3221eeb；)3,2(3221eec．)3,2(3221eed（二）向量的直角坐标运算设，，则),(21aaa),(21bbb),(),(2121bbaaba；),(2211baba),(),(2121bbaaba；),(2211baba．),(),(2121aaaaa结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.结论2：数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.（二）向量的直角坐标运算设，，则),(21aaa),(21bbb),(),(2121bbaaba．),(2211baba证明：由向量坐标的定义有)()(22112211ebebeaeaba222111)()(ebaeba．),(2211baba其他两式同理可以得到．例2已知，,．，，bababa43解：)12(，a)43(，b)43()12(，，ba)4132(，；，)51()43()12(，，ba)4132(，；，)35()43(4)12(343，，ba)1612()36(，，．，)196(求例3解：已知点，,求向量的坐标．AB)(11yxA，)(22yxB，OAOBAB．),(1212yyxx),(),(1122yxyx结论：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．2.已知A，B两点的坐标,求坐标．1.已知的坐标,求．)8,3(),3,4(baba,baba,BAAB,⑴⑵)4,0(),0,3(ba⑴⑵),43(，A)36(，B),63(，A)78(，B例4．，)221(M已知点，,求线段AB中点M的坐标．)12(，A)31(，B解：因为OAOBAB)23(21)12(，，．，)221()12()31(，，．，)23(因此所以AMOAOMABOA21AMBxOy11（三）用向量的坐标表示向量平行的条件温故知新1、平行向量基本定理若则,0bba//存在唯一实数，使.ba2、数乘向量．),(21bbb已知，则21,bbb问题在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否用坐标表示两个向量的平行呢？（三）用向量的坐标表示向量平行的条件)()(2121bbbaaa，，，设ba则，可化为，，，，)()()(212121bbbbaa11ba即22ba①②探索新知①②两式的两边分别乘以得，，12bb2121bbba1212bbba③④③-④得：．01221baba所以，，，，)()(2121bbbaaa若向量．0//1221bababa则例5解：⑴因为(－1)×(－15)－3×5＝0，判断下列两个向量是否平行：；，，，)155()31(ba．，，，)30()02(fe⑵⑴⑵因为2×3－0×0＝6≠0，fe所以与不平行．所以与平行．ab例6已知点A（-2，-1），点B（0，4）和向量),1(ya,//aABa并且求的纵坐标y．解：由已知条件得，，，，)52()12()40(AB,//aAB因为．0251y．25y所以解得：例7已知点A（-2，-3），B（0，1），C(2，5)，求证：A，B，C三点共线．证明：由已知条件得，，，，)42()32()10(AB．ACAB//因为，04482所以又因为线段AB和线段AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．，，，，)84()32()52(AC1.已知,并且),2(),4,3(yba,//ba求y．2.已知点A（-1，-3），B（0，-1），C(1，1)，求证：A，B，C三点共线．1．向量的直角坐标3．用向量的坐标表示向量平行的条件),(212211aaeaeaa2．向量的直角坐标运算⑴两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.⑵数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.⑶一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．，，，，)()(2121bbbaaa若向量．0//1221bababa则教材P49，练习A组第1题⑴⑶；第2题⑴⑶；教材P51，练习A组第3题．