初中数学竞赛专题复习-第二篇-平面几何-第15章-面积问题与面积方法试题1-新人教版

克兰河发源于阿尔泰山南坡，属额尔齐斯河的一条支流，随着全球气候变暖，流域升温明显，年降水量也呈增加趋势。读克兰河上游某水文站不同年代际（年代际变化指年代和年代之间的比较，每10年为一个年代）年内径流过程变化图第15章面积问题与面积方法15.1.1★如图，（b）、（c）、（d）、（e）中直线AP与直线BC交于点D，则：（a）中有ABDACDSBDCDS△△；（b）、（c）、（d）、（e）中有ABPACPSBDCDS△△.(a)CDBADPACBPDCBAPCDBAPCDBA(e)(d)(c)(b)解析只要作相应的高，并运用比例即可.15.1.2★若ABC△中有一点P，延长AP、BP、CP，分别交对边于点D、E、F，则1PDPEPFDAEBFC.CDBPEFA解析如图，易证BPCABCSPDDAS△△，APCABCSPEEBS△△，APBABCSPFFCS△△，三式相加即得结论.克兰河发源于阿尔泰山南坡，属额尔齐斯河的一条支流，随着全球气候变暖，流域升温明显，年降水量也呈增加趋势。读克兰河上游某水文站不同年代际（年代际变化指年代和年代之间的比较，每10年为一个年代）年内径流过程变化图215.1.3★求证：若点A、B、C、D是一直线上依次的任意四个不同点，点P是直线外一点，则有sinsinsinsinAPCBPDACBDBPCAPDBCAD.解析如图，PDCBAsinsinAPCBPCSACPAPCAPCBCSPBPCBPC△△sinsinPAAPCPBBPC，sinsinPBDAPDSBDBPBPDADSAPAPD△△，两式相乘，即得结论.评注这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量，交比为2时，四点称为调和点列，此时ABCDBCAD，这种情形在几何中十分常见.15.1.4★★如图，设BDpCD，CEqAE，AFrBF，试用p、q、r表示PQRABCSS△△.BDRPCEQFA解析用面积比或梅氏定理得出，1(1)DQQArp，于是1AQCACDABCAQrSSSADrpr△△△以及ABRS△与BPCS△的表达式，最后算得2(1)(1)(1)(1)PQRABCSpqrSrprppqqqr△△.15.1.5★★已知E为ABC△的角平分线AD上任一点，AB、AC延长线上分别有点M、N，CMBE∥，BNCE∥，求证：BMCN.解析如图，连结ME、NE.E至AB、AC距离相等，即sinsinBEABECEACE，由CMBE∥，BNCE∥，有BMEBECECNSSS△△△，故1sin2BMBEABE1sin2CNCEACE，于是BMCN.克兰河发源于阿尔泰山南坡，属额尔齐斯河的一条支流，随着全球气候变暖，流域升温明显，年降水量也呈增加趋势。读克兰河上游某水文站不同年代际（年代际变化指年代和年代之间的比较，每10年为一个年代）年内径流过程变化图3NMDCBEA15.1.6★★在ABCD的两边AD和CD上各取一点F和E，使得AECF，AE与CF交于P，求证：BP是APC的平分线.解析如图，易知12ABEABCDBCFSSS△△，又AECF，故B至AE的距离与B至CF距离相等，于是BP平分APC.CBEPDFA15.1.7★★已知ABC△的边BC、CA、AB上分别有点D、E、F，且AD、BE、CF共点，求证：14DEFABCSS△△≤.解析如图，设1BFkAF，2AEkEC，3CDkBD，则由塞瓦定理知1231kkk.CDBEFA又知原式等价于证明34AFEBFDEDCABCSSSS△△△△≥，而212(1)(1)AFEABCSkAFAESABACkk△△，同理，113(1)(1)BFDABCSkSkk△△，323(1)(1)EDCABCSkSkk△△，于是问题变为证明1231223311233(1)(1)(1)4kkkkkkkkkkkk≥，去分母、考虑1231kkk并移项整理得上式等价于1231231116kkkkkk≥.这显然成立，取等号仅当1231kkk，此时D、E、F为各边中点.15.1.8★在凸四边形ABCD中，17AB，7BC，22DA，90ABC，135BCD，克兰河发源于阿尔泰山南坡，属额尔齐斯河的一条支流，随着全球气候变暖，流域升温明显，年降水量也呈增加趋势。读克兰河上游某水文站不同年代际（年代际变化指年代和年代之间的比较，每10年为一个年代）年内径流过程变化图4求四边形ABCD的面积.解析如图，2233822ACABBC，故本题只有一解（否则D可能为钝角）.今延长AB、DC交于E，则BCE△为等腰直角三角形，24AE.又作AFED，则122AFEF.135°ECBFDA4923914422AEFBCEABCFSSS△△四边形.又2214DFADAF，故842AFDS△.于是2398422ABCFS四边形.15.1.9★★锐角ABC△中，60BAC，向外作正ABD△与正ACE△，设CD与AB交于点F，BE与AC交于点G，CD又与BE交于点P，求证：BPCAFPGSS△四边形.CGPBFDAE解析结论转化为AFCBGCSS△△，两边同时除以ABCS△，转化成线段之比，即求证AFCGABAC，上式又等价为AFCGBFAG.这是成立的，因为左式ACCEBDAB右式，此处用到了ABCE∥与ACBD∥.15.1.10★在等腰ABC△中，12ABAC，E、F分别在两腰AB、AC上，8AEAF，BF与CE相交于点D，四边形AEDF的面积为8，求ABC△的面积.解析如图，连结EF，设DEFSx△.易知EFBC∥，82123EFEDDFBCCDBD，于是32BEDFDCSSx△△，94BDCSx△，254EBCFSx梯形，克兰河发源于阿尔泰山南坡，属额尔齐斯河的一条支流，随着全球气候变暖，流域升温明显，年降水量也呈增加趋势。读克兰河上游某水文站不同年代际（年代际变化指年代和年代之间的比较，每10年为一个年代）年内径流过程变化图5CBDFEA455AEFEBCFSSx△梯形，又8AEFSx△，故43x，255154ABCSxx△.15.1.11★设AD、BE、CF为锐角ABC△的三条高，若EF平分ABC△的三条高，若EF平分ABC△的面积，求证：2222DEEFFDBC.解析如图，由条件知12AEFABCSS△△，由于AFE△∽ACB△，cosAFAEAACAB，ECDBFA故21cos2A，45A.又由相似知45FDBAEDC，故90FDE，22222DEEFFDEF.又AEF△∽ABC△，得22EFAEBCAB，于是222EFBC，结论证毕.15.1.12★★★设I是ABC△内心，I在AB、BC、CA上的身影分别是L、M、N，MI延长后，交LN于T，AT延长后与BC交于Q，求证：BQCQ.解析如图，连结TB、TC，本题等价于证明ATBATCSS△△.IBQMCNLTA克兰河发源于阿尔泰山南坡，属额尔齐斯河的一条支流，随着全球气候变暖，流域升温明显，年降水量也呈增加趋势。读克兰河上游某水文站不同年代际（年代际变化指年代和年代之间的比较，每10年为一个年代）年内径流过程变化图6而1sin2ATBSABLTALN△，1sin2ATCSACNTANL△，由ALAN知ALNANL，于是只需证明ABLTACNT.由sinsinsinsinLITNITSLTLITILBACNTSNITINCAB△△，结论得证.15.1.13★★★已知：锐角三角形ABC，向外作正方形ABDE、ACFG，BF、CD交于J，求证：AJBC.解析1如图（1），作AHBC，我们证明AH、BF、CD共点.(1)CHBJSTFGADE由于2ADAB，2AFAC，45DACABAF，故DACBAFSS△△，而DBCS△11sin(90)cos22BDBCBABBCB，1cos2BCFSACBCC△.设CD、AB交于S，BF、AC交于T.于是coscos1coscosDACBAFSASBHCTACCABBSBHCATSABBACC△△，故结论成立.解析2如图（2），设AH是高，在HA延长线上分别找点K、K，使BKCD，CKBF.易知DBC△≌BAK△，AKBC，同理AKBC.KBC△的三条高在KA、CD、BF直线上.因此KA、CD、BF三线共点.(2)KK'EDAGFSJBHC15.1.14★★★求证：存在一个面积为1的四边形ABCD，使形内任何一点P，PABS△、PBCS△、PCDS△、PDAS△至少有一个是无理数.解析如图，作梯形ABCD，ADBC∥，32ADa，2BCa，AD与BC的距离为1.则1ABCDS梯形.克兰河发源于阿尔泰山南坡，属额尔齐斯河的一条支流，随着全球气候变暖，流域升温明显，年降水量也呈增加趋势。读克兰河上游某水文站不同年代际（年代际变化指年代和年代之间的比较，每10年为一个年代）年内径流过程变化图7CFBPDEA设P是内部任一点，则PADS△与BPCS△中至少有一个是无理数.否则，若APDS△与BPCS△均为有理数，设分别为12m、12n，则12mmaa，整理得一个关于a的二次方程，系数可以是整数.但32决不是这个方程的根，矛盾.因此APDS△与BPCS△中至少有一个是无理数.15.1.15★★设ABCD中，90ABC≤，点P为其内部任一点，求证：22222cotABCDPBPDPAPCS.解析此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰.PBCDAyx如图，设P（x，y）、B（0，0）、C（m，0）、A（s，t），则D（ms，t），于是2222PBPDPAPC22222222()()()()()xyxmsytxsytxmy222()msms22cosmsBCAB2cotABCDS.15.1.16★★四边形ABCD的两条对角线垂直且交于点O，OM、ON分别与AB、AD垂直，延长MO、NO，分别与CD、BC交于点P、Q，求证：PQBD∥.克兰河发源于阿尔泰山南坡，属额尔齐斯河的一条支流，随着全球气候变暖，流域升温明显，年降水量也呈增加趋势。读克兰河上游某水文站不同年代际（年代际变化指年代和年代之间的比较，每10年为一个年代）年内径流过程变化图8CPQONAMDB解析显然可将待证式改为BQDPCQCP.由于sinsinBOQCOQSBQBOBOQCQSCOCOQ△△sinsinBODONCONOAsinsinBOOADBODOCOADOAOCO.同理，DPCP也是此式.于是结论成立.15.1.17★★已知凸五边形ABCDE满足ABBC，CDDE，150ABC，30CDE，2BD，求五边形ABCDE的面积.解析如图，作点C关于BD的对称点K，于是ABKB，EDKD，分别作ABK和KDE的角平分线，设交于点M，则MB、MD分别垂直平分AK、EK，则点M是AKE△的外心.DEMKABC又由于1752MBDABC，1152MDBCDE，因此90BMD.又由于AKMD∥，EKBM∥，因此AKKE，点M为RtAKE△斜边AE的中点.由ABM△≌KBM△，MKD△≌MED△，以及BCD△≌BKD△得2BMDABCDESS△五边形.为求BMDS△，只需注意15MDB，2BD，因此作点B关于MD的对称点B（图中未画克兰河发源于阿尔泰山南坡，属