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结构网格生成原理•结构网格:结构化的（ORDEREDDATA）：一组结点上的数据按照逻辑关系组织起来的数组网格分类2•非结构网格:或有限元（FINITE－ELEMENT）：一组结点上的数据及其结点之间的连接关系（单元）网格分类34考虑下面的问题：一个二维翼型在无界流体中匀速运动，我们把参考系建立在翼型上，则可以认为翼型静止，远场来流速度恒定。要计算翼型周围的流场，必须生成计算网格。于在计算中无法直接模拟无穷大的流动区域，我们可以近似的取一个足够大的包围翼型的有限区域。我们取这个区域为一个矩形，并在,xy方向作均匀剖分。这样我们就得到图1所示的矩形网格。边界只能用锯齿形来代替。结构网格锯齿形台阶形画密一些结果影响500.510.40.60.811.21.4为了解决这些问题，一个常用的方法是采用所谓“贴体网格”。贴体网格可以看作由任意曲线坐标的坐标线组成的网格。剪开/拉伸映射结构网格6（1）H型网格加密加密结构网格7（4）多块网格结构网格8（5）非结构网格。一般用于有限元或有限体积方法非结构网格9在物理平面x,y（或空间）中，贴体网格一般是非均匀的。为了更好的模拟如边界层等流动参数变化剧烈的区域中的流动，我们往往希望这些区域的网格较密。但是，从有限差分方法的构造和实施上看，均匀网格更加简单。注意到，贴体网格可以看作由任意曲线坐标(ξ,η)的坐标线组成的网格，这个任意曲线坐标和直角坐标系（笛卡儿坐标系）之间应该是一一对应的。在CFD中，我们往往要寻找一个(ξ,η)和(x,y)之间的变换关系(,)(,)xyxyξξηη==(,)(,)xxyyξηξη==如果我们知道了这一变换关系，流体力学方程可以在计算平面中，用矩形区域均匀网格下的有限差分方法求解。显然，这将简化数值计算方法的构造和计算程序的编制结构网格原理00.510.40.60.811.21.4物理平面(x,y)计算平面(ξ,η)贴体网格均匀网格（1）（2）101、控制方程的变换由于计算是在计算平面上进行的,需要把关于(x,y)的控制方程变换到(ξ,η)的控制方程.2、计算区域的变换为把计算结果映射到物理平面上,需要知道物理平面和计算平面之间的映射关系.结构网格原理111）、导数的变换xxxφφφξηξη∂∂∂=+∂∂∂对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有yyyφφφξηξη∂∂∂=+∂∂∂对于二阶偏导数，有222222222222222()()()[][]()2()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxφφφξηξηφφφφξηξηξηξηφφφφφφξηξξηηξηξηξξηξηηφφφφφξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂1、控制方程的变换12222222222()2()yyyyyyyyyφφφφφφξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂222222()xyxyxyxyyxxyxyφφφφφφξηξξξηξηηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂22220xyφφ∂∂+=∂∂222222222[()()]2[][()()]()()0xyxxyyxyxxyyxxyyφφφξξξηξηηηξξηηφφξξηηξη∂∂∂+++++∂∂∂∂∂∂++++=∂∂把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace方程为例：（5）13在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数：ξx，ξy，ηx，ηy。这些系数称为坐标变换公式（1）对应的度量系数（metrics）。我们看到，为了求解计算平面中的偏微分方程，如（5）式，必须确定度量系数（有时还包括ξxx，ξxy，ξyy，ηxx，ηxy，ηyy，等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一般情况下，我们只知道坐标变换关系（1）、（2）的离散表达式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造度量系数的差分近似是不容易的。以下图为例，根据偏导数的意义，ξx为y保持不变时ξ随x的变化，如图1所示，网格点处的的计算公式应为由于Q一般不是网格点，因此,xQ，ξQ是未知的，只能通过插值方法确定14另一方面，我们可以定义逆变换（2）式的度量系数xξ,xη,yξ,yη。一旦网格划分后，在贴体坐标系ξ,η中，这些度量系数的有限差分离散非常简单。如果采用中心差分离散，有因此，一般先数值求得以上度量系数xξ等，然后通过逆变换求得控制方程中的度量系数ξx1516(1)(2)(1)(3)17上面四个关系中，只有三个是独立的[(3)(4)相同]，写成矩阵形式，有(2)(4)18同理222222222[()()][][()()]()(20)xyxxyyxyxxyyxxyyφφφξξηηξξξηξηηηξφφξξηηη∂∂∂++∂∂∂+++++∂∂∂++=∂∂只要坐标变换关系（网格）确定，度量系数就确定：从而可以在计算平面内离散以上控制方程，进行数值计算191）任意给定Δξ，Δη，ξmin和ηmin，并给定ξ，η方向的网格点数Mx+1，My+1。则在(ξ,η)平面，网格点的坐标为：这样，我们就得到了计算平面(ξ,η)上的网格形状，它是矩形区域的均匀网格。2)画出物理平面求解域的边界。3）建立计算平面求解域边界和物理平面求解域边界的对应关系。贴体网格生成步骤204)在物理平面求解域的边界上划分边界网格点，并建立和计算平面边界网格点的一一对应关系5)通过某种方法确定物理平面求解域的内点网格(xi,j,yi,j)，且它们和计算平面上求解域内点网格的对应关系为□这样，我们就得到了贴体网格21实例一、代数网格生成方法所谓代数网格生成方法，是通过给定（1）或（2）的代数形式来生成网格。考虑下面的由x=0,x=4;y=y1(x),y=y2(x)围成的区域。我们可以定义下面的变换关系：22计算平面边界和物理平面边界的对应关系为：则计算平面网格划分：内点关系：23可得贴体网格划分：24若变换关系为：2526应该指出上面给出的例子是非常简单的情况。针对更复杂的情形，变换关系式中的代数关系可以为分段函数或者由某种插值方法确定的函数关系。目前，代数网格生成方法已经发展到比较完善的程度。大部分交互式网格生成商业软件均采用代数方法作为其基本方法。代数网格生成方法的优点是方便灵活，可以较好的控制网格的分布；其缺点是通用性差，自动化程度不高，需要较多的人工干预，有时网格的质量较差。27实例二、基于微分方程数值解的网格生成方法我们首先介绍网格质量的概念。差分格式多采用的是直角坐标系中的矩形网格。矩形网格中两族坐标线是正交的。理论分析和数值实验均表明，在贴体坐标系中，正交网格下差分格式的计算效果要优于非正交网格。当然，在某些情况下（如图1所示的求解域，网格不可能完全正交，此时我们要求两族网格线的夹角尽量接近90度。也就是说，高质量的网格是尽量正交的网格。在上节，我们看到，度量系数一般通过有限差分方法计算，而有限差分方法要求函数是充分光滑的。所以，高质量的网格还应该是充分光滑的网格。28对于二维问题,复变函数的保角变换提供了满足上述要求的一种网格生成方法。我们把物理平面和计算平面的网格写为复数的形式如果ς=ς(Z)是解析函数，则(x,y)到(ξ,η)的变换称为保角变换。满足Cauchy－Riemann条件计算平面正交物理平面正交。然而构造一个保形映射是非常困难的。29反过来，满足laplace方程并不一定是保形映射。因此，我们可以用Laplace方程作为网格生成的出发方程。显然一般情况下，以上两式并不等价，所以生成的网格不一定是正交的。但由于Laplace方程是椭型方程，(x,y)(ξ,η)和之间的变换是光滑的和一一对应的。30其中微分方程变换同样推导不好离散若物理平面边界点确定如下：31其中离散方程32其中当物理平面求解域边界的网格点坐标已经确定时，（*）式是封闭的，可以解出xi,j,yi,j。由于（*）式是一个非线性方程(主要是ai,j)，我们只能用迭代法求解：（*）33首先给定边界网格坐标（已知量），并给出内点网格坐标的初始估计值，如343536椭圆型方程方法——泊松方程二维泊松方程的特性：Pyyxx=+=∇ξξξ2P0P0Qyyxx=+=∇ηηη2Q0Q037卡门翼型网格生成ξ坐标对应于物理平面上是径线，取68条，用Laplace方程变换；η坐标对应于物理平面上的纬线，取25条，用泊松方程变换，方程为：3.0200)sgn(025122==⋅−⋅−==∇=∇=−−daeaPPjdjjηηηηηξ11=Δ=Δηξ38二维情况下，NS方程：可在计算平面差分离散求解N-S方程的变换：