解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dyfxydx的初值问题00(,)()dyfxydxyyx的解存在与唯一性定理。一、【存在、唯一性定理叙述】如果方程(,),dyfxydx的右端函数(,)fxy在闭矩形区域0000:,Rxaxxaybyyb上满足如下条件：（1）、在R上连续；（2）、在R上关于变量y满足利普希茨条件，即存在常数N，使对于R上任何一点,xy和,xy有以下不等式：|(,),|||fxyfxyNyy。则初值问题00(,)()dyfxydxyyx在区间0000xhxxh上存在唯一解00(),()yxxy，其中0(,)min,,max(,)xyRbhaMfxyM二、【证明】逐步迫近法：微分方程(,)dyfxydx等价于积分方程00(,)xxyyfxydx。取00()xy，定义001()(,()),1,2,3,....xnnxxyfxxdxn可证明lim()()nnxx的()yx满足积分方程。通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。命题1：先证积分方程与微分方程等价：设()yx是微分方程(,)dyfxydx定义于区间0000xhxxh上满足初值条件00()xy的解，则()yx是积分方程00(,),xxyyfxydx定义于区间0000xhxxh上的连续解。反之亦然。证：因()yx是微分方程(,)dyfxydx的解，有'()()(,())dxxfxxdx两边从0x到x取定积分，得：000000()()(,()),xxxxfxxdxxhxxh代入初值条件00()xy得：000000()(,()),xxxyfxxdxxhxxh即()yx是积分方程00(,)xxyyfxydx定义于区间0000xhxxh上的连续解。反之，则有000000()(,()),xxxyfxxdxxhxxh微分得：()(,())dxfxxdx且当0xx时有00()xy。即()yx是微分方程(,)dyfxydx定义于区间0000xhxxh上满足初值条件00()xy的解。现取00()xy，代入积分方程00(,)xxyyfxydx的右端，所得函数用1()x表示，则0100()(,)xxxyfxydx，再将1()x代入积分方程00(,)xxyyfxydx的右端，所得函数用2()x表示，则0201()(,())xxxyfxxdx，以上1()x称为1次近似,2()x称为2次近似。以此类推得到n次近似001()(,())xnnxxyfxxdx。从而构造逐步迫近函数序列为：000000001()1,2,()(,()),xnnxxyxhxxhnxyfxxdx命题2：对所有n,函数序列()nx在0000xhxxh上有定义、连续且满足不等式0()nxyb证：当1n时，0100()(,)xxxyfxydx。显然1()x在0000xhxxh上有定义、连续且有000100000()()(,)(,)||xxnxxxyxyfxydxfxydxMxxMhb，即命题2当1n时成立。由数学归纳法，设命题2当nk时成立，则对1nk有：010()(,())xkkxxyfxxdx知1()kx在0000xhxxh上有定义、连续且有01000()(,())||xkkxxyfxxdxMxxMhb命题2当1nk时也成立。由数学归纳法原理得命题2对所有n均成立。命题3：函数序列()nx在0000xhxxh上一致收敛。证：只须考虑级数0100001()()(),kkkxxxxhxxh-----（*）在0000xhxxh上一致收敛。因其部分和为：011()()()()nkknkxxxx，因01000()()(,())||xxxxfxxdxMxx，000221101000()()||(,())(,())|||()()|||||||2!xxxxxxMNxxfxxfxxdxNxxdxMNxxdxxx设对n成立1100000()()||,!nnnnMLxxxxxhxxhn。则当0000xhxxh时有000111100()()|(,())(,())||()()|||||||!(1)!nnxxxnnnnnnnnxxxMNMNxxfxxfxxdxNxxdxxxdxxxnn即对所有k，在0000xhxxh成立110()()!kkkkMNxxhk。其右端组成正项收敛级数101!kkkhMNk由魏氏判别法，级数（*）在0000xhxxh上一致收敛。即()nx在0000xhxxh上一致收敛。命题3得证。现设lim()()nnxx则()x在0000xhxxh上有定义、连续且0()xyb命题4：()x是积分方程00(,)xxyyfxydx在0000xhxxh上的连续解。证：由利普希茨条件(,())(,())()()nnfxxfxxNxx及()nx在0000xhxxh上一致收敛于()x，知函数序列(,())nfxx在0000xhxxh上一致收敛于(,())fxx。于是000101lim()lim(,())lim(,())xxnnnxxnnnxyfxxdxyfxxdx即00()(,())xxxyfxxdx()x是积分方程00(,)xxyyfxydx在0000xhxxh上的连续解。命题5：设()x是积分方程00(,)xxyyfxydx在0000xhxxh上的另一连续解。则0000()()()xxxhxxh。证：现证()x也是序列()nx在0000xhxxh上的一致收敛极限函数。由00()xy，001()(,())(1)xnnxxyfxxdxn，00()(,())xxxyfxxdx得：000()()|(,())|||xxxxfxxdxMxx，0002210000()()|(,())(,())||()()|||||||2!xxxxxxMNxxNfxxfxxdxNxxdxMNxxdxxx。设110()()||!nnnMNxxxxn，则00011100()()|(,())(,())||()()|||||!(1)!nnxxxnnnnnxxxMNMNxxfxxfxxdxNxxdxxxdxxxnn。由数学归纳法，对所有n，有10()()||(1)!nnnMNxxxxn。因此，对所有n，在0000xhxxh有10()()(1)!nnnMNxxhn成立。但当n时100(1)!nnMNhn。故()nx在0000xhxxh上的一致收敛于()x。由极限的唯一性，得0000()()()xxxhxxh。