高等代数(第三版)8-习题课

一、基本概念二、基本结论三、基本算法一、基本概念矩阵，可逆的矩阵，秩；矩阵的初等变换及标准形，矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.二、主要结论（定理1）一个的―矩阵可逆nn()A是一个非零常数.()A1.矩阵可逆的等价刻画矩阵的乘积.（定理6）可逆可表成一些初等()A()A2.（定理2）任意一个非零的的一矩阵sn()A都等价于下列形式的矩阵12()()()00rddd其中1,()(1,2,,)irdir是首项系数为1的多项式，且1()()(1,2,,1).iiddir称之为的标准形.()A（定理5）矩阵、等价()()AB()()AB、有相同的不变因子.3.等价矩阵的刻画()()AB、有相同的行列因子.存在一个可逆矩阵与一个可逆()Pssnn()()()().BPAQ推论：两个的矩阵、等价sn()()AB矩阵，使()Q4.相似矩阵设，则A与B相似,nnABP特征矩阵与等价.EAEB定理：推论:设则相似,,nnABP,AB特征矩阵与有相同的不变因子.EAEBE-E-AB与、有相同的行列因子.结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论2、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.相同的不变因子.它们有相同的初等因子.设，则A与B相似,nnABP特征矩阵与等价.EAEB特征矩阵与有相同的不变因子.EAEBE-E-AB与、有相同的行列因子.A与B有相同的初等因子.A与B有相同的不变因子.A与B相似的等价刻画:(定理9)设将特征矩阵进行,nnACEA初等变换化成对角形12()()()()nhhDh然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.5、若当标准形存在定理变换，在V中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去定理10换成线性变换的语言即为（定理11）设是复数域上n维线性空间V的线性若当块的排序外是被唯一确定的.的初等因子全是一次的.A3.特殊情形（定理12）复矩阵A与对角矩阵相似的不变因子没有重根.A（定理13）复矩阵A与对角矩阵相似.PAP数域上的nn方阵在数域上相似于唯一的一个有理标准型，称为Ａ定理14有理标准型的.5P设是数域上n维线性空间的线性变换，则在Ｖ中存在一组基，使在该基下的矩阵是有理标准型，并且这个有理标准型由唯一决定，称定理1有的理标准型为三、基本算法(题目基本类型)2、求矩阵的两种因子：行列式因子、不变因子1、会利用矩阵的初等变换化矩阵为标准型111:()()(),()()(i=2,3,,r)iiiDdDdD行列式因子与不变因子之间的关系3、求数字矩阵的两种因子：不变因子、初等因子E-A,方法一:(1)求出特征矩阵的全部不变因子(2)对不变因子因式分解分解式中全部一次因式方幂(相同的按出现的次数计算)E-A,方法二:(1)把特征矩阵化成对角形矩阵(2)把对角线上的所有进行因式分解分解式中全部一次因式方幂(相同的按出现的次数计算)4、求复矩阵的若当标准型E-A(1)求出特征矩阵的全部初等因子(2)写出每个初等因子对应的若当块(3)写出若当标准型5、求数域P上矩阵的有理标准型E-A(1)求出特征矩阵的全部初等因子(2)写出每个不等于1的初等因子对应的伴侣阵(3)写出有理标准型