热学中的临界问题

热学中的临界问题，具有灵活性大，隐蔽性强的特点，对学生能力要求较高，笔者将一些典型的问题集中起来，供大家参考．类型一、升温溢出水银例1粗细均匀的玻璃管的长度Ｌ＝１００ｃｍ，下端封闭，上端开口，竖直放置如图1甲所示，在开口端有一段长度为ｈ＝２５ｃｍ的水银柱把管内一段空气封住，水银柱的上表面与玻璃管管口相平．此时外界大气压强为ｐ0＝７５ｃｍＨｇ，环境温度为ｔ＝２７℃，现使玻璃管内空气的温度逐渐升高，为使水银柱刚好全部溢出，求温度最低要达到多少开?该温度下空气柱的长度是多少?(假设空气为理想气体)分析与解答此题如果把水银柱刚好全部溢出作为末态，则据气体状态方程，有ｐ0Ｖ0／Ｔ0＝ｐＶ／Ｔ，即１００×７５／３００＝７５×１００／Ｔ，得Ｔ＝３００Ｋ．显然，此解不合理，那么应该如何分析呢?设升温后，管内剩下水银柱长度为ｘ，据ｐ0Ｖ0／Ｔ0＝ｐ1Ｖ1／Ｔ1，得１００×７５／３００＝（７５＋ｘ）（１００－ｘ）／Ｔ，即Ｔ＝（１／２５）（－ｘ2＋２５ｘ＋７５００）．上式为温度Ｔ与水银柱长度ｘ的函数关系，当ｘ＝－２５／（２×（－１））＝１２.５时，有Ｔm＝３０６.２５Ｋ．以ｘ为横坐标，Ｔ为纵坐标，作Ｔ-ｘ图象帮助理解，Ｔ-ｘ图象如图１乙所示．从图象分析可以发现，对应Ｔ＝３００Ｋ，ｘ有两个值，即ｘ1＝２５ｃｍ，ｘ2＝０，表明先升温至Ｔ＝３０６.２５Ｋ后，不需要再加热升温，水银能随气体自动膨胀全部溢出．类型二、倒转溢出水银例2一端开口、一端封闭且长为Ｌ的均匀直玻璃管，内有一段长为ｈ的水银柱封闭了一段空气柱，如图2甲所示．当玻璃管的开口端向上竖直放置时，封闭的空气柱长为ａ，当缓慢地转动玻璃管，使其开口端竖直向下时，水银不流出，则管中水银柱长度ｈ必须满足什么条件?(设大气压强ｐ0＝Ｈ水银柱高)．分析与解答玻璃管的开口竖直向上时，如图2甲所示．当玻璃管开口转到竖直向下时，水银的一端刚好到达管口而没有流出作为水银不流出的临界状态，如图2乙所示．对甲图，有ｐ1＝（Ｈ＋ｈ），Ｖ1＝ａＳ．对乙图，有ｐ2＝（Ｈ－ｈ），Ｖ2＝（Ｌ－ｈ）Ｓ．若ｐ1Ｖ1＝ｐ2Ｖ2，水银刚好不溢出；若ｐ1Ｖ1＞ｐ2Ｖ2，说明ｐ2和Ｖ2的值均小，Ｖ2变大，水银要外流．水银流出后，ｐ2的值也增大，故当ｐ1Ｖ1＞ｐ2Ｖ2时，水银要外流．若ｐ1Ｖ1＜ｐ2Ｖ2，说明Ｖ2的值大了，水银上升，将远离管口，Ｖ2值变小，ｐ2不变，水银不会流出．综上所述，要使水银不外流，则需ｐ1Ｖ1≤ｐ2Ｖ2．所以（Ｈ＋ｈ）ａＳ≤（Ｈ－ｈ）（Ｌ－ｈ）Ｓ，化简得ｈ2－（Ｈ＋Ｌ＋ａ）ｈ＋Ｈ（Ｌ－ａ）≥０，令ｈ2－（Ｈ＋Ｌ＋ａ）ｈ＋Ｈ（Ｌ－ａ）＝０，得，令ｙ＝ｈ2－（Ｈ＋Ｌ＋ａ）ｈ＋Ｈ（Ｌ－ａ），作出关于ｙ-ｈ的函数图象如图2丙所示，其中，．当ｙ≥０时，有ｈ≤ｈ1或ｈ≥ｈ2，其中要求ｈ＋ａ＜Ｌ，若题中Ｈ、Ｌ、ａ为具体数值，则一定要对结果进行合理取舍．类型三、滴加溢出水银例3一端封闭的玻璃管开口向上，管内有一段高为ｈ的水银柱将一定量的空气封闭在管中，空气柱的长度为Ｌ，这时水银柱上面刚好与管口相平．如果实验时大气压为Ｈ水银柱，问管中空气柱长度满足什么条件时，继续向内滴加水银，则水银不会流出管口?分析与解答如图3所示，若滴加水银后管内水银柱的高度增加Δｈ，对封闭的气体来说，压强增加Δｈ水银柱高，其体积就相应减小，设其体积压缩ΔＬ·Ｓ．当Δｈ＞ΔＬ时，水银将外流；当Δｈ＜ΔＬ时，水银不会外流；当Δｈ＝ΔＬ时，这是水银刚好不外流的临界条件．设水银刚好不外流时，滴加Δｈ高度的水银柱．于是有ｐ1＝（Ｈ＋ｈ），Ｖ1＝ＬＳ，ｐ2＝（Ｈ＋ｈ＋Δｈ），Ｖ2＝（Ｌ－Δｈ）Ｓ．由玻意耳定律ｐ1Ｖ1＝ｐ2Ｖ2，得（Ｈ＋ｈ）ＬＳ＝（Ｈ＋ｈ＋Δｈ）（Ｌ－Δｈ）Ｓ，整理得Ｌ＝Ｈ＋ｈ＋Δｈ，又∵Δｈ＞０，∴Ｌ＞Ｈ＋ｈ．类型四、吸取溢出水银例4粗细均匀的玻璃管长Ｌ＝９０ｃｍ，下端封闭，上端开口，竖直放置，如图4所示．有一段高度ｈ＝８ｃｍ的水银柱把部分气体封闭在玻璃管内，水银面与管口相平，此时ｐ0＝７６ｃｍＨｇ．现用吸管从管口缓慢地向外吸出水银．讨论为不使气体膨胀过大导致水银外溢，吸出水银柱的长度应满足的条件．分析与解答若吸取水银后管内水银柱的高度减小，对封闭的气体来说，压强减小ｘ（ｃｍＨｇ），其体积就相应增加，设其体积增加ｙ长气柱，显然ｘ＝ｙ，是水银刚好不外流的临界条件．设吸取ｘ（ｃｍ）长的水银柱后，气体长为（８２＋ｙ）ｃｍ，则初态ｐ1＝８４ｃｍＨｇ，Ｖ1＝８２·Ｓ，末态ｐ2＝（８４－ｘ）ｃｍＨｇ，Ｖ2＝（８２＋ｙ）Ｓ，据玻意耳定律ｐ1Ｖ1＝ｐ2Ｖ2，得８４×８２＝（８４－ｘ）×（８２＋ｙ），得ｙ＝（８４×８２）／（８４－ｘ）－８２，①由题意知ｙ≤ｘ，②即（８４×８２）／（８４－ｘ）≤ｘ，整理得ｘ（２－ｘ）≥０，∵ｘ＞０，∴ｘ≤２ｃｍ．故最多只能吸取２ｃｍ长水银柱．类型五、直角弯管内水银柱移动例5两端开口且足够长的Ｕ型管内径均匀，向两侧注入水银，将一定质量的理想气体封闭在管中的水平部分，气柱及水银柱长度如图5所示，大气压强为７６ｃｍＨｇ，此时封闭气体温度是１５℃，当气柱温度缓慢地升至３２７℃时，左右两管水银面高度差是多少?(提示：气柱可能进入左边竖直管中)分析与解答先假设升温时，左边部分水银刚好全部挤入左侧管内，那么左、右两边管内水银面均升高４ｃｍ，气柱长度为１８ｃｍ，此时两管水银面相平，计算此时对应的温度，再与３２７℃比较，看是否满足条件．对封闭的气体有初态ｐ1＝９６ｃｍＨｇ，Ｖ1＝１０Ｓ，Ｔ1＝２８８Ｋ，末态ｐ2＝１００ｃｍＨｇ，Ｖ2＝１８Ｓ，Ｔ2＝?据ｐ1Ｖ1／Ｔ1＝ｐ2Ｖ2／Ｔ2，得（９６×１０）／２８８＝（１００×１８）／Ｔ2，得Ｔ2＝５４０Ｋ＜６００Ｋ．可见假设不成立．故必有部分气柱进入左侧管内，此时ｐ3＝ｐ2＝１００ｃｍＨｇ．对封闭气体有初态ｐ1＝９６ｃｍＨｇ，Ｖ1＝１０Ｓ，Ｔ1＝２８８Ｋ，末态ｐ3＝１００ｃｍＨｇ，Ｖ3＝？，Ｔ3＝６００Ｋ，据ｐ1Ｖ1／Ｔ1＝ｐ3Ｖ3／Ｔ3，得９６×１０Ｓ／２８８＝１００×Ｖ3／６００，得Ｖ3＝２０Ｓ．由于左、右管均开口，且气柱两端与水银分界面处压强均为ｐ3＝１００ｃｍＨｇ．故只能是左管内水银面升高６ｃｍ，右管内水银面升高４ｃｍ．则左右两管里水银柱上表面高度差Δｈ为２ｃｍ．类型六、与弹簧相连问题例6如图6所示，长为２Ｌ的圆筒形气缸可沿动摩擦因数为μ的水平面滑动，在气缸中央有一个面积为Ｓ的活塞，气缸内气体的温度为Ｔ0，压强为ｐ0（大气压强也为ｐ0）．在墙壁与活塞之间装有劲度系数为ｋ的弹簧．当活塞处在图中位置时，弹簧恰在原长位置．今加温使气缸内气体体积增加一倍，问气体的温度应达多少?(气缸内壁光滑，活塞和气缸总质量为ｍ)分析与解答本题是气体性质和力学综合题，仔细分析可以发现，摩擦因数大小不同，会出现不同的结果．当气体受热膨胀时气缸始终静止不动是一种结果；在膨胀过程中气缸发生移动将得到另一种结果，下面分两种情况进行讨论．(1)在μｍｇ＞ｋＬ的情况下，气缸始终处于静止状态．活塞平衡条件为(ｐ－ｐ0)Ｓ＝ｋＬ，据理想气体状态方程，有ｐ0·ＳＬ／Ｔ0＝ｐ·２ＬＳ／Ｔ，所以Ｔ＝２Ｔ0（１＋ｋＬ／ｐ0Ｓ）．(2)在μｍｇ＜ｋＬ的情况下，整个过程分两个阶段：ａ．在静摩擦力达到最大值之前，气缸处于静止状态．连结活塞的弹簧被压缩，设压缩量为ｘ时气缸将开始移动，则有ｋｘ＝μｍｇ，即ｘ＝μｍｇ／ｋ，①活塞平衡条件为（ｐ－ｐ0）Ｓ＝μｍｇ，②式中ｐ为此时的压强，设此时的温度为Ｔ′，则据气体状态方程，有ｐ0ＳＬ／Ｔ0＝ｐＳ（Ｌ＋ｘ）／Ｔ′，③联立①、②、③式，得Ｔ′＝（１＋μｍｇ／ｐ0Ｓ）（１＋μｍｇ／ｋＬ）Ｔ0．④ｂ．气缸发生移动后，气体处于等压膨胀过程中，设最终温度为Ｔ，则Ｔ／Ｔ′＝Ｖ／Ｖ′＝２ＬＳ／（Ｌ＋ｘ）Ｓ＝２／（１＋μｍｇ／ｋＬ），⑤将④代入⑤式，得Ｔ＝２（１＋μｍｇ／ｐ0Ｓ）Ｔ0．