单自由度体系的振动分析

《结构动力学》2007.8structuraldynamics§2.单自由度体系的振动分析§2.1不计阻尼自由振动自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。一.运动方程及其解阻尼---耗散能量的作用。mEIl)(ty)(tym)]([)(11tymty)()(11tymtyk0)()(2tyty令111121mmk二阶线性齐次常微分方程一.运动方程及其解mEIl)(ty)(tym)]([)(11tymty)()(11tymtyk0)()(2tyty令111121mmk二阶线性齐次常微分方程其通解为tctctysincos)(21由初始条件0)0(yy0)0(yy可得01yc/02yctytytysincos)(00令sin0Aycos/0Ay)sin()(tAty其中22020yyA00tanyy二.振动分析其通解为tctctysincos)(21由初始条件0)0(yy0)0(yy可得01yc/02yctytytysincos)(00令sin0Aycos/0Ay)sin()(tAty其中22020yyA00tanyy单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.)2(])2(sin[)2sin()sin()(tytAtAtAty2T自振周期21T自振园频率(自振频率)与外界无关,体系本身固有的特性A振幅初相位角二.振动分析单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.)2(])2(sin[)2sin()sin()(tytAtAtAty2T自振周期21T自振园频率(自振频率)与外界无关,体系本身固有的特性A振幅初相位角三.自振频率和周期的计算1.计算方法(1)利用计算公式111121mmk11,WmgWststg2(2)利用机械能守恒常数)()(tUtT)(cos21)(21)(2222tmAtymtT)(sin21)(21)(2211211tAktyktUmaxmaxUT三.自振频率和周期的计算1.计算方法(1)利用计算公式111121mmk11,WmgWststg2(2)利用机械能守恒常数)()(tUtT)(cos21)(21)(2222tmAtymtT)(sin21)(21)(2211211tAktyktUmaxmaxUT(3)利用振动规律)sin()(tAty)sin()(2tAty)sin()()(2tmAtymtI位移与惯性力同频同步.211mAAk111kmEIl)(ty2mAA幅值方程mk112其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视δ、k、Δst三参数中哪一个最便于计算来选用。自振周期计算公式：频率计算公式：stgWgmmk1gkmTst22一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。三.自振频率和周期的计算2.算例例一.求图示体系的自振频率和周期.3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223mEIlEIl=111=1ll/2l解:EIl3127例二.求图示体系的自振频率和周期.3332231mlEIEIlmEIl31132EImlT32=1解:23lEImEIllm/2EIEIll例三.质点重W,求体系的频率和周期.3113lEIkk解:EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk33例四.求图示体系的自振频率和周期.222222max29)2(21)(21)2(21mllmlmlmT解:mk95mlmEImlllkk)(t1.能量法2222max25)2(21)(21kllklkUmaxmaxUT2.列幅值方程ml22ml22ml2lklk2A0AM0222222222lklllmlmllkllml059222klmlmk95求图示体系的频率解：单自由度体系43412311EIlEIkMEIMEImk5.043311例：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。(a)(b)k1k2k3ik解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和.k=k1+k2+k3232221321mkkkmk例：图a所示结构周期为Ti，求图b所示体系周期。mmi1kkkk(a)(b)23解：图b体系为串联弹簧，其柔度δ（刚度系数k的倒数）等于各弹柔度δi（簧刚度系数ki的倒数）之和。321321111kkk2322213212)111()(2π2π2π2πTTTkkkmmkmT例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1，弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。m1kk2(b)kABmk12(a)解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系，竖向振动频率为)(2121kkmkkmk例、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δEIl4831P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321EIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据此可得：ω1׃ω2׃ω3=1׃1.512׃2结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。§2.2简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)一.运动方程及其解tPtyktymsin)()(11二阶线性非齐次常微分方程受迫振动---动荷载引起的振动.mEIl)(tyP(t)tPtPsin)(P---荷载幅值---荷载频率运动方程)()()(*tytyty或通解其中tctctysincos)(21设tmPtytysin)()(2tAtysin)(*代入方程,可得)(22mPA通解为tmPtctctysin)(sincos)(2221二.纯受迫振动分析mEIl)(tyP(t)设tAtysin)(*代入方程,可得)(22mPA通解为tmPtctctysin)(sincos)(2221tAtysin)()(22mPA22211mPstyA112PmPyst---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移22/11---动力系数---稳态振幅||11---频比211二.纯受迫振动分析mEIl)(tyP(t)tAtysin)()(22mPA22211mPstyA112PmPyst---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移22/11---动力系数---稳态振幅styA||11211112PmPyst---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移22/11---动力系数---频比---稳态振幅011---共振010增函数1||减函数0)(1sin)(22tPmtmPty为避开共振一般应大于1.25或小于0.75.1.250.75共振区mk112若要使振幅降低,应采取何种措施?通过改变频比可增加或减小振幅.10增函数1||减函数0)(1sin)(22tPmtmPty011---共振0为避开共振一般应大于1.25或小于0.75.10应使频比减小.增加结构自频.增加刚度、减小质量.1应使频比增大.减小结构自频.减小刚度、增大质量.例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知5.0三.动位移、动内力幅值计算tAtysin)(styA22/11计算步骤:1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力；2.计算动力系数；3.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。tPsin1EImEIEIlPPl/4解.31124lEIkEIPlkPyst2431134/1122EIPlyAst3181Pl/3动弯矩幅值图例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知:./500,10,35,210,108.8,445分转nkNPkNQGPaEmIml解.S/13.62//111Qgmm10722.0311Pyst4.3/1122m1045.23styAtPsinQl/2l/2重力引起的弯矩kN3541QlMQ重力引起的位移m1053.2311QQ111l/4m/N10722.0487311EIlkN.m1041PlMstS/13.5260/2n振幅动弯矩幅值kN.m34stDMM跨中最大弯矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移m1098.43maxAfQ当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。[动荷载不作用于质点时的计算]PP1112*mtPsin)(ty)(sin)(1112ymtPty)(tymtPsin12=111=1tPtytymsin)(1)(111211令tPtytymsin)(1)(*11tmPtysin)(2*11*2*PmPA111112PP12stystyP仍是位移动力系数是内力动力系数吗?运动方程稳态解振幅[列幅值方程求内力幅值]tAtysin)(EIPlllPlEIyst34856522211解:5.0例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知tAtysin)(2tmAtIsin)(2tPtPsin)(同频同步变化mtPsinEIl/2l/2)(tyPAm2A34/1122EIPlyAst3365Psty=1112/Pll1122441AmAmAIP485PP485Pl965Pl482