高等数学(上册)课件

高等数学电子教案中国石油大学（华东）理学院基础数学系金贵荣前言。和公共选修课程程公共基础课程、专业课拔尖班的课程设置为：，程中最重要的课程之一基础课其中高等数学就是公共根据教学大纲的要求，本课程共上两个学期，个学分，11)56(17690()86学时。共是工科各专业考研必考课程，也是工科各专业许多后续专业课程的基础。因此，牢固地掌握高等数学的基本内容，熟练地运用它的基本方法，深刻理解它的基本思想，是学好工科各专业的后续专业课的关键和保障。高等数学的基本内容和方法量非初等函数）（主要是初等函数或少其主要内容包括：究内，用极限的方法，研高等数学是在实数范围函数性质.的一门课一元函数微积分.常微分方程函数与极限，导数、微分及其应用，应用，不定积分与定积分及其.广义积分,空间解析几何:多元函数微积分.无穷级数多元函数的极用，偏导数、全微分及其应数量值函限与连续，数的积分重积分，，第一型曲线、曲面积分;用数量值函数积分学的应向量值函数的积分分），（第二型曲线、曲面积几点要求学习方法：.1上课纪律：.2好习惯。题的学习中，要养成多想问容后，再去做作业，在学内习，基本掌握了课堂教急于完成作业，通过复不要要注意以听为主。课后必须记适当的笔记，但题来听课，上课前先预习，带着问课，不迟到，不早退，不旷累计缺课超过该课程授，不得参加期末考试；课学时的31上课必须关闭手！机，严禁上课玩手机作业：.3题，练习册上的习题为必做均为选做题，不交。）拟题、课本上的练习题模期中期末考试题、期末一章的测验题、往年的（其中每记入期末总评成绩。业成绩以作细的登记，并给出平时和完成情况有一个较详。作业的收交业总数的一次，每次重点批改作业书写工整！每周收交作作业要按数学排版格式％1031辅导答疑：.4电话：[phone]答疑室。堂时间：待定；地点：南112《高等数学练习册》发放时间、地点及相关要求：时间：星期二、三、五（9月20、21、23日）下午3：00—5：00地点：文理楼237室联系人：李明（电话[phone]）要求：每个班所有同学都要买练习册，由班长统一收好钱（最好是整钱，建议在班费中支）在上述《高等数学练习册》每本售价：17元规定时间内购买。第一章函数与极限1.1函数的概念及其初等性质1.2数列极限1.3函数极限1.4无穷小与无穷大1.5函数连续性1.6闭区间上连续函数的性质1.1函数的概念及其初等性质1.1.1预备知识1.一些常用的符号.“至少有一个”：表示“存在一个”或.”，则若“：表示“可推出”或.或“等价”“充分必要”：表示“当且仅当”或.:“对每一个”表示“对任意一个”或2.实数集,},2,1,0{*N自然数集：,},3,2,1{)(NZ正整数集：,}1,2{，负整数集：Z，，，，，整数集：}101{Z有理数：无限不循环小数.无理数统称为实数有理数、,}{全体有理数有理数集：Q,}{全体无理数无理数集：I.IQR实数集：无限循环小数无理数：.)0形式的数q,,(Zqpqp或凡能表示为.形式的数或表示不成qp有理数集的稠密性：任意两个不同的有理数之间都有无穷多个有理数ba(（无理数集、实数集）（无理数、实数）（无理数、实数）。实数集的连续性：实数集与数轴上点的集合之间建立一一对应关系。ox1122.....实数集是连续的或完备的。.，反之亦然点说成数不加区别，常将在高等数学中，数与点xx“”“”)ba2ba3.常用不等式:.0,,0,,xxxxxRx.0,.1xRxo绝对值:)0(.3hhxo.hxh)0(.4hhxo.hxhx或.,.2xxxRxo.yxyxyx,,.5Ryxo三角不等式.6o(平均值不等式)则设.,,2,1,0niainaaaaaaaaannnnn212121111(调和平均值)(几何平均值)(算术平均值)（证明略）更一般地，有,)1(niRxi.2121nnxxxxxx4.邻域:,0为邻域的中心点x.,0为邻域的半径),(00xUxO空心邻域：的点),(:00xUx实心邻域的点.),(}{000xxxxxx0x0x0x.),(),(}0{00000xxxxxxxx0x0x0x1.1.2函数的概念称为对应的数数yx函数值的集合：一.函数的定义定义.MD和设给定两个非空实数集对应按照某种对应法则若,,fDx唯一确定,My的一个实数上的函数，是定义在则称Df))((:xfyxMDf表示为：的定义域，称为函数fD;)(xfyx的函数值，记作RMDxxfyyDf}),({)(.的值域称为函数f函数传统的习惯符号：.)(Dxxfy，注意：，可以多对一，定义中的对应法则f一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数，简称分段函数..0,1,0,21,0,)(:2xxxxxxf例如oxy121)(xfy.不能一对多但绝有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则，并用约定的符号予以表示:f.,1的最大整数”是不超过对应的“例xyRx.,][Rxxy记作：称为取整函数例如：[5.3]=[-4.9]=.][1,xxxRx有显然，（求极限时有用）12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo1234][xy阶梯曲线，5.5时，当)(1Znnxn][xn.][,2”对应的“例xxyRx.,}{Rxxy记作：.,][}{Rxxxxy即称为非负小数部分函数.}{][,1}{0,xxxxRx有显然，oxy11}{xy2341234例3符号函数.0,1,0,0,0,1sgnxxxx当当当,sgnxxx.sgn的符号的作用起了xx.,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxD例4狄利克莱函数德国）（,18591805,Dirichlet1-1xyoxysgn••有理数点无理数点•1xyo)(xDy例5黎曼函数德国）（,18661826,Riemann.G.)10(10,0,,,(,1)(内的无理数，和，为既约真分数）xqpZqpqpxqxR1xyo)(xRy21312131324143418183858781三.函数的初等性质.,)(Dxxfy设1．函数的有界性,MxfDx,MMM)(0)3(若,)(,0)1(MxfDxM若.)(上有界在则称DxfpxfDxRp)(,)2(若.)(界上有上在则称Dxf,))((qxf)(q)(下.)()(上既有上界又有下界在函数上有界在函数DxfDxf定理.上无界在则称Dxf)(.],[)0(),0()0,(1)(6上有界区间在任何不包含原点的闭无界，与在证明：例baxxf证,0M:Mx.1)(MxxfMMMxM10;)0(),0()0,(1)(无界与在xxf,],[（不包含原点）而bax,bxa即,111axb.],[1)(上有界在baxxf,)1(M2．函数的单调性,,,2121时当如果xxDxx.)(的单调递增上是在区间则称函数Dxf),()(:21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoD()（减）.,)(Dxxfy设x)(xfy)(1xf)(2xfyoD时，上单调递增或单调递减在当Dxf)(;)(的单调上是在则称Dxf.)(单调函数上的为Dxf)(xfy)(1xf)(2xfxyoD,,,2121时当如果xxDxx),()(:21xfxf恒有.)(单调不减上是在区间则称函数Dxf)()(xfy)(1xf)(2xfxyoD)(增3．函数的奇偶性),()(,)1(xfxfDx若),()(,)2(xfxfDx若,)(关于原点对称上定义，且在设DDxf.)(称为非奇非偶函数否则，xf.),()(,)0(),()(7数的和内能表成奇函数与偶函在证明内的任意函数为定义在设例llxflllxf证,)]()([21)(xfxfxF令,)]()([21)(xfxfxG偶函数奇函数.)()()(xGxFxf显然为偶函数；则称)(xf.)(为奇函数则称xf4．函数的周期性为周期函数，则称)(xf.)(的一个周期称为xfl,)(上定义在设函数Dxf,0l若)()(xflxf有定义,DlxDx且.为无穷区间说明周期函数的定义域D2l23l2l23l....xyo)(xfy的所有周期中存在在周期函数若)(xf最小的正，周期T.)(的为则称这个最小正周期xfT基本周期.周期都是指基本周期通常我们所说的函数的，有一个周期若)(xf.)(必有无穷多个周期则xf则的一个周期为事实上，若,)(xfl)()(lxfxf])[(llxf)2(lxf.)(nlxf.)()(的周期也是xfNnnl,2cos,sin)(Txxxf的周期为,cot,tan)(Txxxf的周期为,2)sin()(TCBxAxF的周期为,2)cos()(TCBxAxF的周期为,)tan()(TCBxAxF的周期为,)cot()(TCBxAxF的周期为则的周期是，而若,)()()(1xfTxfxFiinii,)(,,,21的周期是的最小公倍数xFTTTTn常用结果!)(的最小正周期不一定是但xFT以任意正有狄利克莱函数例.,0,,1)(8IxQxxD.小正周期理数为周期，但没有最,Qr事实上，，若Ix)(rxD.)(xD的周期，即任意正有理数是)(xD但正有理数中不存在最小值，，若Qx，则Qrx，Qx，Qrx,1，则Irx.Ix,Irx,0.)(无最小正周期故xD1.1.3复合函数和反函数1.复合函数.),(,)(AxxuBuufy和设})({BxAxxD且若.BA）（或,)(,BxuDx对应唯一一个先通过法则即.RyDx都对应唯一一个.,)]([Dxxfy定义.Ryf对应唯一一个再通过法则.)()(复合而成的复合函数与称为由函数ufyxu作：义了一个新的函数，记上定于是在D称为外函数，其中：)(ufy称为内函数，)(xu.称为中间变量u注意:,arcsinuy例如;22xu没有意义！则)2arcsin(2xy，，和给定两个函数AxxuBuufy)(,)(.10.)]([xfy算：不一定都能进行复合运})({BxAxxD且.BA）（或可以复合的条件是：,)2cot(:xy例如,uy由,cotvu.2复合而成xv..20进行复合运算意有限个函数也可以在满足相应条件时，任2.反函数则若给定函数,,)(Dxxfy都对应通过fDx,唯一确定.)(Dfy的，也有是否通过某对应法则反之，),(Dfy唯一一个与之对应呢？Dx不一定！定义对应通过某一法则如果),(Dfy唯一一个,)(成立）（使xfyDx.)(,)(1Dfyyfx一个新的函数，上定义了则称在)(Df的反函数，记作称它为)(xfy.存在反函数只有一一对应函数，才结论：的反函数，则是如果)()(1xfyyfx的反函数，也是)()(1yfxxfy或