棋子问题建模

数学建模作业二棋子问题1.问题的重述：任取n个黑白棋子排成一个圆圈，然后在两颗颜色相同的棋子之间放一颗黑色的棋子，在两颗颜色不同的棋子之间放一颗白色的棋子。放完后撤掉原来的棋子，新棋子仍构成一个圈。再重复以上的过程，问经过k次操作各棋子的颜色的变化趋势是怎样的？2.合理的假设：（1）分别设黑棋为1，白棋为-1。（2）相同颜色之间插入黑棋，即转化为：1x1=1或（-1）x（-1）=1。（3）相异颜色之间插入白棋，即转化为：1x（-1）=-1或（-1）x1=-1。（4）至少三个棋子围成一圈。（5）给出的任意n枚棋子依次编号为1--n。(6)将奇数用j表示,偶数用o表示。3.问题研究描述、结论：（1）分析：要将n（n=3）个黑白不确定的棋子排成一个圈，且根据题目要求在相同颜色棋子之间放入黑色的棋子，不同颜色棋子之间插入白色的棋子，即黑黑为黑，白白为黑，黑白为白，白黑为白。若假设黑棋子为1，白棋子为-1则1*1=1，(-1)*（-1）=1,1*(-1)=-1,(-1)*1=-1.（2）研究描述：【1】设k为行数。假设有n个棋子，研究n个棋子中任意一个棋子（不妨设为第m个的变化规律为：a（m）a（m）a(m+1)a(m)a(m+1)²a(m+2)a(m)a(m+1)³a(m+2)³a(m+3)……通过以上推理过程图，可以发现：棋子的黑白由每个编号所代表的棋子的指数有关。当k=1时，其指数依次为1，1.当k=2时，其指数依次为1，2，1.当k=3时，其指数依次为1，3，3，1.当k=4时，其指数依次为1，4，6，4，1.当k=5时，其指数依次为15，10，10，5，1.由以上述递推结果可以得到以下一般规律：k+1,kn;每行元素的个数（相同编号的为一个元素）=n,kn.1krC，kn;每行元素的指数（指数按杨辉三角的元素）=nktkntiC/01,kn.由以上公式可得，各层元素的各指数满足杨辉三角，如下图：第1行1第2行11第3行121第4行1331第5行14641第6行15101051第7行1615201561第8行172135352171第9行18285670562881第10行193684126126843691第11行1104512021025221012045101第12行：1115516533046246233016555111······【3】根据假设奇数用j表示，偶数用o表示，则易知：j+j=o，o+o=o，j+o=j，o+j=j.当只有两边各一个元素为奇数时，且棋子个数等于该行行数减一时棋子全为黑，因为棋子是循环排列，第一个棋子即是最后一个棋子，两边指数为一，相加的偶数，即此时棋子的指数全为偶数，棋子颜色为黑。故当某一行的每个元素的指数除了两边全为偶数时，棋子全部为黑；而根据奇偶相加的性质，元素除两边全为偶数的某一行的上一行，其元素全是奇数。即指数在杨辉三角的形式下，全奇的下一行才会出现全偶。下面讨论全奇的情况，进而得出除两边全为偶数的情况：首先我们将要证明杨辉三角奇偶性的一些性质。取杨辉三角左边四个个进行杨辉三角变换（附带第五个元素的奇偶性）：令初态为joooo则变化一次为：joooojjooojojoojjjjojoooo有上述变化可得出以下结论：杨辉三角左边四个元素每四行奇偶性循环一次。又因为第五个元素恒为o，o+j=jo+o=o故从左边数第k个四个一组的元素也符合上述规律。（该组元素不超过杨辉三角中线）下面将推出全为行中元素全为奇数的一般规律：有我们证明的杨辉三角的性质可知，行中元素全为奇数的行数必为4的整数倍，且杨辉三角从某一全为奇数的行开始，每四行增加8个奇数。假设第k行时元素的指数全为奇数，则k+4行在两端分别有4个奇数，中间为偶数，每下一行增加8个奇数。假设第m行时，元素的指数也全为奇数。奇偶性图如下：第k行jjjjjjj…………………………jjjjjjjj第k+4行jjjjoooooo……………………ooooooojjjj…………………………………第m行jjjjjjjjj…………………………jjjjjjjjjj2[m-(k+4)]=m-8,解得：m=2k由上得出递推公式：a（n+1）=2a（n）a（0）=4又由实验可得：当a=1,2时也成立。所以可得一下结论：（3）结论：有n个棋子时，任意摆设使棋子颜色全部变黑的充要条件是n=2^k（k=2,3……）。