专题练习—轨迹方程

1专题练习——轨迹方程求轨迹方程的的基本方法：直接法(或几何法)、定义法、代入转移法（也叫相关点法）、参数法、交轨法……等。1．直接法(或几何法)---由题目已知条件能建立动点的等式，且能用点P的坐标（x，y）及其他已知的量表示该等式的方法。（直接法五步骤：“建系,设点，列式，化简，证明”，最后的一步“证明”可以改为“说明”，即进行“挖”与“补”就可以）2．定义法—-动点轨迹符合所学过的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线…等的定义，则直接根据定义写出所求的动点的轨迹方程的方法。3、代入转移法（也叫相关点法）-—所求动点P(x,y)随另一动点Q),(00yx的运动而运动（动点Q在已知或可求得的曲线（方程）上运动），且可用x,y表示x0,y0的式子即),()(),()(00yxgygyyxfxfx或或，则代入点Q满足的方程，整理得点P的轨迹方程的方法。4、参数法-—当很难直接找到动点的x,y之间的关系，而可借助某一中间变量（如参数t），求出),()(tgytfx，然后消去参数t，得出动点（x，y）的轨迹方程的方法。5、交轨法-—求两动曲线交点轨迹时，可由方程联立求出交点坐标（含参数），然后消去参数得到轨迹方程的方法。（用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可，可以说是参数法的一种变种）巩固练习：3、动点p与定点A(－1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p点的轨迹方程是：（）A、x2+y2=1B、x2+y2=1(x≠±1）C、x2+y2=1(x≠1）D、y=21x4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是：（）A、x2+y2=2(x+y)B、x2+y2=2|x+y|C、x2+y2=2(|x|+|y|)D、x2+y2=2(x－y)5、动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是：（）A、中心在原点的椭圆B、中心在（5，0）的椭圆C、中点在原点的双曲线D、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（）A、(x－2)2+y2=4B、(x－2)2+y2=4(0≤x＜1)C、(x－1)2+y2=4D、(x－1)2+y2=4(0≤x＜1)7、已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是：（）A、双曲线B、双曲线左支C、一条射线D、双曲线右支8、若一动圆与两圆x2+y2=1,x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为：（）A、抛物线B、圆C、双曲线的一支D、椭圆9、点M到F（3，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小1，则点M的轨迹方程是：（）A、y2=12xB、y2=12x(x0)C、y2=6xD、y2=6x(x0)210、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A、x2+y2=21B、x2+y2=41C、x2+y2=21(x21)D、x2+y2=41（x41)11、抛物线过点M（2，－4），且以x轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是（）A、(x－2)2+(y+4)2=16B、(x－2)2+4(y+2)2=16C、(x－2)2－(y+4)2=16D、(x－2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C与椭圆14)2(9)3(22yx关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A、22(2)(3)149xy+++=B、22(2)(3)194xy--+=C、22(2)(3)194xy+++=D、22(2)(3)149xy--+=13、设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.14922yxB.14922xyC.14922yxD.14922xy14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为()222222222222A.1B.1C.1D.12575752525757525xyxyxyxy15、已知⊙O：x2+y2=a2,A(－a,0),B(a,0),P1,P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为（）A、x2+y2=2a2B、x2+y2=4a2C、x2－y2=4a2D、x2－y2=a216、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。17、过原点的动椭圆的一个焦点为F（1，0），长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为。18、曲线x2+4y2=4关于点M（3，5）对称的曲线方程为。19、经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是。20、倾斜角为4的直线交椭圆42x+y2=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是。21、两条直线ax+y+1=0和x－ay－1=0(a≠±1）的交点的轨迹方程是。3再巩固练习——轨迹方程1、(1)求和定圆222kyx的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程.（2）过点A(a，o)作圆O∶222Ryx(a＞R＞0)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．（3）设,xyR,,ij为直角坐标平面内,xy轴正方向上的单位向量,若向量(2)axiyj,(2)bxiyj,且||||8ab.求点(,)Mxy的轨迹C的方程;（4）设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且PFPMMPMN⊥,2，当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；2、（1）一动圆与圆22650xyx外切，同时与圆226910xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.4（3）已知ΔABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且acb,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3、（1）已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．（2）双曲线2219xy有动点P，12,FF是曲线的两个焦点，求12PFF的重心M的轨迹方程。4、（17年3卷22.）（1）在直角坐标系xOy中，直线1l的参数方程为2+xtykt（t为参数），直线2l的参数方程为2xmmmyk（为参数）．设1l与2l的交点为P，当k变化时P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）(略)（2）过点A（－1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点.若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。（3）抛物线)0(42ppxy的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。5专题练习——轨迹方程答案：3、B4、C5、B6、B7、C8、C9、A10、D11、B12、A13、C14、C15、D16、22220xyxy--+=17、2219()24xy-+=18、22(6)4(10)4xy-+-=19、22(1)yx=-20、4440(55)55xyx+=-21、)0(022xyyxyx再巩固练习——轨迹方程答案：1、（1）解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2k或|OP|=0．即2224kyx或2220yx即点（0,0）．故所求动点P的轨迹方程为2224kyx或点（0,0）．(2)解：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，1axyxy，化简得222)2()2(ayax.其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．（3）解：由||||8ab,得2222(2)(2)84xyxy,设12(0,2),(0,2)FF则动点M满足1212||||84||MFMFFF,所以点M在椭圆上,且椭圆的4,2,23acb.所以轨迹C的方程为2211612yx.（4）解：∵MPMN2，故P为MN中点，又∵PFPM⊥，P在y轴上，F为（1，0），故M在x轴的负方向上，设N（x，y）则M（－x，0），P（0，2y），（x0），∴)21()2(yPFyxPM，，，，又∵0PFPMPFPM·故⊥，即042yx∴的方程是轨迹Cxxy)0(42.2、解：（1）设动圆圆心为(,)Mxy，半径为R，设已知圆的圆心分别为1O、2O，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100xy，当M与1O相切时，有1||2OMR①当M与2O相切时，有2||10OMR②将①②两式的两边分别相加，得21||||12OMOM，xy1O2OP6即2222(3)(3)12xyxy③移项再两边分别平方得：222(3)12xyx④两边再平方得：22341080xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆。（2）解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：2218172xy.(3)解：|BC|+|CA|=42,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2,短轴长为23,∴椭圆方程为13422yx,又ab,∴点C在y轴左侧，必有x0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,因此点C的轨迹方程是：13422yx(─2x0)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3、（1）解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)，则有2001yx，∵BP∶PA=1∶2，00233213xxyy（2）设,PM点坐标各为11(,),(,)PxyMxy，∴在已知双曲线方程中3,1ab，∴9110c，∴已知双曲线两焦点为12(10,0),(10,0)FF，∵12PFF存在，∴10y由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。∵10y，∴0y。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9xyy即所求重心M的轨迹方程为：2291(0)xyy。74、解：（1）直线的直角坐标方程为(2)ykx；直线的直角坐标方程为1(2)yxk，联立(2)1(2)ykxyxk，两式相乘可得，22(2)(2)4yxxx，即2240xyy.（2）解：由已知:(1)lykx，代入抛物线C：y2=4x的方程，消x得：204kyyk，∵ClP直线交抛物线于