二项式定理与组合恒等式(上)

高一·联赛班·寒假第3讲·学生版1第三讲二项式定理与组合恒等式本讲概述本讲将涉及到组合学的一个重要内容：组合恒等式.从组合数和二项式定理开始，可以得到很多有趣的恒等式.事实上，历史上出现过数以千计的组合恒等式，直到现在仍然有新的恒等式出现.在中科大小丛书《组合恒等式》中，史济怀教授给出了两百多个组合恒等式.由于现在各级竞赛中对组合恒等式要求大为降低，因此本讲只涉及比较简单的恒等式，以及利用这些恒等式来解决问题以下给出一些基础知识：1．二项式定理：nkkknknnnbaCba0*)()(N2．二项展开式的通项：)0(1nrbaCTrrnrnr它是展开式的第r+1项.3．二项式系数：).0(nrCrn4．二项式系数的性质：（1）).0(nkCCknnkn（2）).10(111nkCCCknknkn（3）若n是偶数，有01122,nnnnnnnnnnCCCCCC，即中间一项的二项式系数2nnC最大.若n是奇数，有11110112222,,nnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC，即中项二项的二项式系数212nnnnCC和相等且最大.（4）.2210nnnnnnCCCC（5）.21531420nnnnnnnCCCCCC（6）.1111knknknknCknCnCkC或（7）).(nkmCCCCCCmmknmknmkmnmnmkkn（8）.1121nknnknnnnnnnCCCCC以上组合恒等式（是指组合数mnC满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.（1）——（6）请自证.（7）和（8）的证明将在后面给出.5．证明组合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.高一·联赛班·寒假第3讲·学生版2（3）利用数学归纳法.（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.（5）母函数法，此方法仅在冬令营以上级别要求例题精讲【例1】试证明恒等式：0002,(1)0,23nnnknkkkknnnnkkkCCC【例2】(01全国）若(1＋x＋x2)1000的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋……＋a2000x2000，则a0＋a3＋a6＋a9＋……＋a1998的值为________.【例3】证明：（1）112nknnkkCn（2）.1121nknnknnnnnnnCCCCC【例4】证明：220(1)2nknnkkCnn【例5】证明：21220(2)!22(!)nknnknCn【例6】已知数列)0(,,,0210aaaa满足),,3,2,1(211iaaaiii求证：对于任何自然数n，nnnnnnnnnnnnnnxCaxxCaxxCaxxCaxCaxp)1()1()1()1()(111222211100是x的一次多项式或零次多项式.高一·联赛班·寒假第3讲·学生版3【例7】证明：（1）220()nknnnkCC；（2）ktktnmmnkCCC；（3）222(1)()(1)kknnnnkCC.【例8】设nm，证明：02nmmkmnmmnmknkCCC【例9】试用恒等变形方法证明例7的等价形式：2nkpnppnknkpCCC【例10】（1）试求6432)(xxxx展开式中15x的系数；（2）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？大显身手1．数码1232006,,,,aaaa中有奇数个9的2007位十进制数12320062aaaa的个数为（）A．200620061(108)2B．200620061(108)2C．20062006108D．200620061082．证明：1121nknknnnnkCCC高一·联赛班·寒假第3讲·学生版43．证明：11(1)11knknknCkn4．数列}{na中，113,3(2)nanaan，求2001a的末位数字是多少？5．已知),2,1(8,1,01110naaaaannn试问：在数列}{na中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.6.求证：nkkknknknC01222.12)1(