重积分的应用

1重积分的应用摘要：我们认识了重积分，本文主要讨论重积分的应用。关键词：重积分；应用；重心；转动惯量1．求物体的重心密度设V是密度函数为(,,)xyz的空间物体，(,,)xyz在V上连续。为求得V的重心坐标公式，先对V作分割T，在属于分割T的每一小块iv上任取一点(,,)iii，于是小块iv的质量可以(,,)iiiiv近似代替。若把每一小块看作质量集中在(,,)iii的质点时，整个物体就可用这n个质点的质点系来近似代替。由于质点系的重心坐标公式为11(,,),(,,)niiiiiinniiiiivxv11(,,),(,,)niiiiiinniiiiivyv11(,,).(,,)niiiiiinniiiiivzv当0T时我们很自然地把,,nnnxyz的极限,,xyz的定义为V的重心坐标公式，即(,,),(,,)VVxxyzdVxxyzdV(,,),(,,)VVyxyzdVyxyzdV(,,).(,,)VVzxyzdVzxyzdV当物体V的密度均匀即为常数时，则有1,VxxdVV1,VyydVV1.VzzdVV例2求密度均匀的上半椭圆的重心。解设椭球体有不等式2222221xyzabc表示。由对称性知0,0.xy又由为常数，所以3.283VVVzdVzdxdydzczdVabc2．求空间物体转动惯量2设(,,)xyz为空间物体V的密度分布函数，它在V上连续。对V作分割T，在属于T的每一个小块iv上任取一点(,,),iii于是iv的质量可以用(,,)iiiiv近似代替。当以质点系(,,),1,2,...,iiiin近似代替V时，质点系对于x轴的转动惯量则是221()(,,).nnxiiiiiiiJv当0T时上述积分和的极限就是物体V对于x轴的转动惯量22()(,,).xVJyzxyzdV22()(,,).yVJxzxyzdV22()(,,).zVJxyxyzdV例3求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量解设圆环D为222212,RxyR密度为，则D中任一点(,)xy与转轴的距离的平方为22.xy于是转动惯量212223442221210()()(),22RRDmJxyddrdrRRRR其中m为圆环的质量3．求空间立体对质点的引力设A的坐标为(,,),V中点的坐标用(,,)xyz表示。我们使用微元法求V对A的引力。V中质量微元dmdV对A的引力在坐标轴上的投影为333,,xyzdFxyzdFkdVkdVdFkdVrrr，其中k为引力系数，222()()()rxyz其中A到dV的距离。于是力F在三个坐标轴上的投影分别为333,,,xyzVVVFxyzFkdVkdVFkdVrrr所以.xyzFFiFjFk例4设球体V具有均匀的密度，求V对球外一点A的(质量为1)的引力(引力系数为3k)。解：设球体为2222,xyzR球外一点A的坐标为(0,0,)().aRa显然有0,xyFF现在计算,zF由上述公式，32222()()zVzaFkdxdydzxyza32222(),()RRDdxdykzadzxyza其中2222(,),DxyxyRz用柱坐标计算:223202()()2RRzzRrFkzadzdrrza222(1)2RRzakdzRzaa324.3Rka4．求空间立体的体积例5求椭球体2222221xyzabc解由对称性，椭球的体积V是第一卦限部分体积的8倍，这一部分是以22221xyzcab为曲顶，22,01,0xDxyybxaa为底的曲顶柱体，所以222281.DxyVcdxdyab应用广义极坐标，由于21zcr，因此1220081Vdcrabrdr1220081abcdrrdr43abc。当abcR时，得到球的体积为343R。5．求空间物体的质量例6设球体2222xyzx上各点的密度等于该点到坐标的距离，求这一球体的质量解根据题意所求球体的质量42222222xyzxMxyzdxdydz利用球坐标变换。这里(,,),0,02sincos22Vrr于是2sincos320028sin5Mddrdr