《勾股定理》专题复习(含答案)

1/13第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形abc，，，若ac，的面积分别为5和11，则b的面积为（）Ａ．4Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454AEAAECAEC∠∠∠的度数．解：连结32AE．32122222AAAAAEAE，，32212290AAEAAE，322122RtRtAAEAAE△≌△（SAS）．322122AEAAEA．由勾股定理，得：224532215CECE，2245324117AEAE，44332ACAC，445332ACEACE△≌△（SSS）．323454AECAEC1801506060ABC图1abcl图21A2A3A4A5A5E2E1E1D1C1B4C1A2A3A4A5A5E2E1E1D1C1B4C3C2C图32/13122424454324424323224AEAAECAECAECAECAECAEC．由图可知224ECC△为等腰直角三角形．22445AEC．即12242445445AEAAECAEC．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列各等式中成立的是（）（A）222abc；（B）222ab；（C）222ca；（D）222ba2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（）（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）（A）10.5米；（B）7.5米；（C）12米；（D）8米4、下列说法中正确的有（）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)nnnn，则ABC是直角三角形。（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个5、如图4是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（）A．a＞cB．b＞cC．4a2+b2=c2D．a2+b2=c26、已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为．7、已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形图43/13ABC图7的两直角边的长分别为．8、利用图5（1）或图5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．9、一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米（答案可保留根号）．10、如图6，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积1S为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23SS，，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积8S＝_______。11、如图7，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．12、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积.ABCDEFGHIJ图5（1）图6图5（2）4/1313、在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.14、如图8：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？15、如图9，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.图8图95/13专题二：能得到直角三角形吗考点分析：本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用，它在中考试卷中不单独命题，常与其它知识综合命题典例剖析例1．如图10，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点，因为B′D=DB，所以B′D=AC，∠B′DO=∠OCA=90°，∠B′=∠CAO所以△B′DO≌△ACO(SSS)，则OC=OD=21AB=21×6=3米，连结OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，所以OB2=32+42=52，即OB=5(米)，所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础例2．如果只给你一把带刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角，简述你的作法．分析：只有一把刻度尺，只能用这把刻度尺量取线段的长度，若∠P是一个直角，∠P所在的三角形必是个直角三角形，这就提示我们把∠P放在一个三角形中，利用勾股定理的逆定理来解决此题．作法：①在射线PM上量取PA=3㎝，确定A点，在射线PN上量取PB=4㎝，确定B点．②连结AB得△PAB．③用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰为5㎝，则说明∠P是直角，否则∠P不是直角．理由：PA=3㎝，PB=4㎝，PA2+PB2=32+42=52，ＰＡＭＮ图11图106/13若AB=5㎝，则PA2+PB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得△PAB是直角三角形，∠P是直角．说明：这是一道动手操作题，是勾股定理的逆定理在现实生活中的一个典型应用．学生既要会动手操作，又必须能够把操作的步骤完整的表述出来，同时要清楚每个操作题的理论基础．专练二：1．做一做：作一个三角形，使三边长分别为3cm,4cm,5cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2．断一断：设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10②7，24，25③12，35，37④13，11，10（1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？（2）把你判断是Rt△的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.3算一算：．一个零件的形状如图12，已知AC=3㎝，AB=4㎝，BD=12㎝，求：CD的长．4．一个零件的形状如图13所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？5．如图14，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.图12ABCD图137/136．若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=07．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．8．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图15，已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸．专题三：蚂蚁怎样走最近图15图14Ｂ图1Ｂ8/13考点分析：勾股定理在实际生活中的应用较为广泛，它常常单独命题，有时也与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．如图16（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图10（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？分析：梯子顶端A下落的距离为AE，即求AE的长．已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2在中，RtECDECEDCD22222252225..∴EC=1.5，AEACEC21505..，所以，梯子顶端下滑了0.5米．点评：在实际生活、生产及建筑中，当人们自身高度达不到时，往往要借助于梯子，这时对梯子的选择，及梯子所能达到的高度等问题，往往要用到勾股定理的知识来解决．但要注意：考虑梯子的长度不变．例2．有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多2尺；把竹竿斜放,，竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?分析：只要根据题意，画出图形，然后利用勾股定理，列出方程解之解：设竹竿长为x尺。则：（x―4）2+（x―2）2=x2x1=10，x2=2（不合题意舍去）答：竹竿长为10尺。评注：本题是勾股定理与方程的综合应用问题，它综合考查了同学们的建模思想和方法的理解和运用，符合新课程标准的理念，请注意这类问题！例3．如图17，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80，测得C处的方位角为南偏东25，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北图16（2）AAECBCBD（1）（2）图16（１）北东图17ABCD9/13偏东20，则C到A的距离是（）A．156km；B．152km；C．15(62)km；D．5(632)km分析：本题是一道以航海为背景的应用题，由已知条件分析易知△ABC不是直角三角形，这就需要作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，问题便可得到解决．解：由条件易得：∠C=450，∠ABC=750，则∠A=600，过B作BD⊥AC，垂足为D，∴△BCD是等腰直角三角形，又∵BC=30km，由勾股定理得：2CD2=302，∴CD=152，∴BD=152，设AD=x，则AB=2x，由勾股定理得：BD=3x，∴3x=152，∴x=56，∴AC=152+56，故选D．点评：在航海中，有时需要求两船或船与某地方的距离，以保证航海的安全，有时就需要用勾股定理及判定条件来加以解决，熟练应用勾股定理是解题的关键．专练三：1．小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店(如图18),已知书店距离邮局640米，那么小明家距离书店米．2．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为5尺，则水池的深度和芦苇的长度各是．3．小明叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建起栅栏，要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算