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由面积产生的函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝14，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN≈1.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交．思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN＝2，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝4，cosA＝14，所以AB＝16，BC＝415．设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝14AP＝14x，PE＝154AP＝154x．所以y＝S△PCD＝12CDPE＝1115(4)224xx＝21515162xx．定义域是0＜x＜8．（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．因此四边形AEPF是正方形（如图3），设正方形的边长为m．由S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得AC·BC＝m(AC＋BC)．所以m＝44154+415＝302157．此时AE＝3021547＝21527，AP＝4AE＝81587．图2图3（3）如图4，设⊙C与⊙P的公共弦为MN，MN与CP交于点G．由于CM＝CN＝1，MN＝2，所以△CMN是等腰直角三角形，CG＝NG＝22．如图5，作CH⊥AB于H，由AC＝4，那么AH＝1，CH2＝15．所以CP＝22CHPH＝215(1)x．因此PG＝2215(1)2x（如图4）．如图4，在Rt△PNG中，由勾股定理，得222222(15(1))()22xx．整理，得2x2－64x＋257＝0．解得1325102x，232+5102x（舍去）．图4图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF＝14BP＝1(16)4x，由PE＝PF，得151(16)44xx．解得81587x．例22014年黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得13a．所以2114(4)(2)333yxxx．顶点M的坐标为4(2,)3．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t,0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入1(4)3yxx，得122(24)3ttt．解得12t．将Q′(3t,－t)代入1(4)3yxx，得13(34)3ttt．解得t＝1．因此，当12t时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如图3）．图2图3（4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时S＝t2．②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA．此时AF＝2t－2．此时S＝1(222)1212ttt．图4图5③如图6，当1.5＜t＜2时，重叠部分是五边形OCEFA．此时CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．所以S＝221111(32)1(42)28222ttt．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？如图4，(222)lt．如图5，4222lt．如图6，(422)522lt．例32013年菏泽市中考第21题如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数334yx的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数218yxbxc的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．满分解答（1）由334yx，得A(0,3)，C(4,0)．由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．将B(－4,0)、D(8,3)分别代入218yxbxc，得240,883.bcbc解得14b，c＝－3．所以该二次函数的解析式为211384yxx．（2）①设点P、Q运动的时间为t．如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝45．当PQ⊥AC时，45AQAP．所以545tt．解得259APt．图2图3②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．由于S△APQ＝2111333sin(5)2225102APQHAPAQPAQtttt，S△ACD＝11831222ADOA，所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝2233358112()()1021028ttt．所以当AP＝52时，四边形PDCQ的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．这时45APAQ，所以455tt．解得209t（如图4所示）．图4例42012年广东省中考第22题如图1，抛物线213922yxx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．思路点拨1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222yxxxx，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．所以AB＝9，OC＝9．（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．所以2()ADEACBSAESAB．而18122ACBSABOC，AE＝m，所以222811()()922ADEACBAEmsSSmAB．m的取值范围是0＜m＜9．图2图3（3）如图2，因为DE//CB，所以9CDBEmADAEm．因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以9CDEADESCDmSADm．所以22291191981()222228CDEmSmmmmm．当92m时，△CDE的面积最大，最大值为818．此时E是AB的中点，92BE．如图3，作EH⊥CB，垂足为H．在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以3313sin1313B．在Rt△BEH中，93132713sin21326EHBEB．当⊙E与BC相切时，rEH．所以272952Sr．考点伸展在本题中，△CDE与△BEC能否相似？如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．例52012年河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5cos13ABC．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．图3图4答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝12mx，S△CBD＝12nx．（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得118422mxnx．所以168mnx．由于AC边上的高565BG，所以x的取值范围是565≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝565或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．例62011年淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以E