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第1页（共31页）2017年05月21日数学（因式分解难题）2一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982=．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解第2页（共31页）（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．第3页（共31页）（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn第4页（共31页）（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．第5页（共31页）解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．第6页（共31页）（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项第7页（共31页）式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．第8页（共31页）2017年05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次第9页（共31页）项正确．3．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982第10页（共31页）=（202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（2015秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=5151．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）第11页（共3