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12．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义温溪高中徐佳一、背景分析1、学习任务分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是较难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点仍是数量积的概念。二、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系。（2）通过向量数量积定义的得出，体会简单归纳与严谨定义的区别。2（3）通过向量数量积分配律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。三、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：平面向量数量积的定义及平面向量数量积的定义的应用。四、教学基本流程五、教学准备1、实验教具：计算机、黑板、粉笔2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。六、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图回顾旧知1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？2.任意两个向量都可以进行加、减运算，那么任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？学生思考回答承前启后回顾已学习的向量相关知识。同时调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性。引入以物理学中的做功为背景引入思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多教师提出问题，学生思考。教师引导使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是概念引入概念获得简单运用算律探究理解掌握反思提高3少？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，能否把“功”看成两个向量的一种运算的结果？从中你得到那些启示？小结：向量的数量积的定义及夹角的特征。学生理解数量积的定义。回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至同起点。为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。使学生在形式上认识数量积的定义。定义形成探究（一）:平面向量数量积的背景与含义思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结果是向量还是数量？思考4：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？思考5：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？小结：向量的几何意义及投影的概念教师提出问题，学生思考。教师可在学生回答的基础上进一步归纳夹角对投影的正负情况的影响，加深学生对投影的认识。这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性。让学生体会数学的概括性、严谨性及可操作性。4定义深化探究（二）：平面向量数量积的运算性质思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？小结：向量特殊位置关系（垂直、共线）下的数量积的特征。a⊥ba·b＝0a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝2a学生自己回顾、探索、总结，并发表自己的看法，教师可对学生进行点拨。体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质.理论迁移例1已知：|a|=5，|b|=4，〈a，b〉=1200，求a·b。学生自己动手简单应用。通过计算巩固对定义的理解。定义深化探究（二）：平面向量数量积的运算性质思考4：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？思考5：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是否成立？为什么？小结：向量的数量积的运算律a·b＝b·a(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(a＋b)·c=a·c＋b·c可让学生学生分组探究，写运算律，可能学生的答案有遗漏或错误，教师进行补充说明。要求学生通过对过去所学的运算律回顾，类比得出数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，培养学生自主探究，引导学生动手动脑解决问题。5理论迁移例2已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，向量a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).并思考此运算过程类似于哪种运算？例3已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？||||1,234abababab变式：若与6互相垂直，求：向量与的夹角。教师可将例题内容与代数运算进行比较。教师重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。例2是数量积的性质和运算律的综合应用，完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是培养学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一。课堂小结1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？可让学生讨论总结，教师进行点评补充。通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识。作业1.阅读教材的相关内容2.教材第108页A组第1，2，3，5题养成学生看书的习惯