2017年高考预测大题(一)解三角形

众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！年高考预测大题（一）解三角形1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．2.在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．3.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2+c2=ac+bc+ca．（1）证明：△ABC是正三角形；（2）如图，点D的边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=，求sin∠BAD的值．众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为斜边BC上一点，且AC=CD=2．（1）若CD=2BD，求AD的值；（2）若AD=BD，求角B的正弦值．试卷答案1.【考点】正弦定理；等比数列的通项公式．【分析】（1）+=，由余弦定理可得：+=，化简即可证明．（2）4sin（C﹣）cosC=1，C为锐角，利用积化和差可得：=1，C∈（0，），∈．解得C=．利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．【解答】（1）证明：∵+=，由余弦定理可得：+=，化为c2=ab，∴a，c，b成等比数列．（2）解：4sin（C﹣）cosC=1，∴C为锐角，2=1，化为：=1，C∈（0，），∈．∴2C﹣=，解得C=．∴a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，∴（a﹣b）2=0，解得a=b．众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！∴△ABC的周长=3a==9．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简可得2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．3.众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！【考点】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC的面积的最大值．（2）设∠ACD=θ，由已知及三角形面积公式可求sinθ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，利用余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求BC的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴由余弦定理，得AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=，∴，当且仅当AB=BC时，取等号，∴，∴△ABC的面积的最大值为；（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，∴，∴，∴，由余弦定理，得，∴AD=4．由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴，∴BC的长为4．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．5.【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得：a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．6.【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；配方法；解三角形．【分析】（1）由已知利用配方法可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，从而可求a=b=c，即△ABC是正三角形．（2）由已知可求AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD=的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：由a2+b2+c2=ac+bc+ca，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，…（3分）所以a﹣b=b﹣c=c﹣a=0，所以a=b=c，…（4分）即△ABC是正三角形…（2）因为△ABC是等边三角形，BC=2CD，所以AC=2CD，∠ACD=120°，…（7分）所以在△ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD，可得：7=4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，解得CD=1，…（9分）众享教育品质精、简、心、细我们始终追求的品质！在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD===．…（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和配方法的应用，属于中档题．7.【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）依题意得DB=1，BC=CD+DB=3．在Rt△ABC中，求出cosC，在△ADC中，由余弦定理得：，即可．（2）在△ADC中，由余弦定理得：AD2=8﹣8cosC．在Rt△ABC中，，可得BD．由8﹣8cosC=2•（）2．解得cosC即可．【解答】解：（1）∵CD=2DB=2，∴DB=1，BC=CD+DB=3．在Rt△ABC中，cosC=，在△ADC中，由余弦定理得：，∴AD=．（2）在△ADC中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=8﹣8cosC．在Rt△ABC中，，∴BD=BC﹣CD=．∵AD2=2DB2，∴8﹣8cosC=2•（）2．解得cosC=，∵，∴sinB=cosC=．【点评】本题考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了方程的思想及运算能力，属于中档题．