第8章--采样控制系统

第八章采样控制系统★本章主要内容与学习重点★8-1采样过程及采样定理★8-2保持器★8-3差分方程★8-4z变换★8-5脉冲传递函数★8-6采样控制系统的时域分析★8-7用MATLAB分析采样控制系统小结本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本定理和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法等。本章重点学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。概述与连续系统显著不同的特点是，在离散系统中的一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲序列，称为离散信号或采样信号。相应的离散系统也称为采样系统。典型的采样系统如图8-0-1所示。图8-0-1采样系统在上述系统中,采样误差信号是通过采样开关对连续误差信号采样后得到的,如图8-0-2.图8-0-2模拟信号的采样图8-0-2中，T称为采样周期，而Tfs1及Tfss22分别称为采样频率和采样角频率。由图可见，若采样频率太低，包含在输入信号中的大量信息通过采样就会损失掉。在采样系统中，当离散信号为数字量时，称为数字控制系统，最常见的时计算机控制系统。图8-0-3为一典型计算机控制系统的框图。图8-0-3计算机控制系统框图在计算机控制系统中，通常时数字―模拟混合结构。因此需要设置数字量和模拟量相互转换的环节。图8-0-3中，模拟信号e(t)经模拟―数字转换器（A/D转换器）转换成离散信号e*(t)，并把其值由十进制数转换成二进制数（编码），输入计算机进行运算处理；计算机输出二进制的控制脉冲序列u*c(t)经过数字模拟转换器（D/A转换器）转换成模拟信号uc(t)去控制对象。8-1采样过程及采样定理采样过程采样过程：按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。采样器可以用一个按一定周期闭合的开关来表示，采样周期为T，每次闭合时间为ε。通常采样持续时间ε远小于采样周期T，也远小于系统中连续部分的时间常数。因此，在分析采样控制系统时，可以近似认为ε→0。理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器，能产生单位脉冲序列δT(t)，如图8-1-1所示。图8-1-1单位脉冲序列单位脉冲序列δT(t)的数学表达式为nTnTtt（8-1-1）式中T——采样周期；n——整数。脉冲调制器（采样器）的输出信号e*(t)可表示为nTnTttettete*（8-1-2）在控制系统中，通常当t0时，e(t)＝0。因此上式可改写为00*nnnTtnTenTttete（8-1-3）上式的拉普拉斯变换式为0**nnTsenTesEteL（8-1-4）综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号e*(t)可表示为两个函数的乘积，其中载波信号δT(t)决定采样时间，而采样信号的幅值则由输入信号e(nT)决定，如图8-1-2所示。图8-1-2采样信号的调制过程采样定理理想单位脉冲序列δT(t)是一个以T为周期的函数，展开成傅立叶级数，复数形式为ntjnnTseAt（8-1-5）式中为傅立叶系数。dtetTAtjnTTTns221对于δT(t)，。将An代入式（8-1-5），得TAn1ntjnTseTt1（8-1-6）将式（8-1-6）代入式（8-1-2），并考虑式（8-1-3），可得0*1nntjnnTtteeteTtes（8-1-7）由于e*(t)的拉普拉斯变换式为nsjnsETsE1*（8-1-8）上式表明，E*是s的周期性函数。通常E*(s)的全部极点均位于s平面的左半部，因此，可以用代入上式，得到采样信号e*(t)的傅立叶变换jsnsjnjETjE1*（8-1-9）设采样器输入连续信号的频谱E(jω)为有限带宽的图形，其最大频率为ωm,如图8-1-3所示。则采样后得到的离散信号的频谱如图8-1-4所示。图8-1-3连续信号频谱图8-1-3离散信号频谱图8-1-4a对应于的情况，而8-1-4b对应于的情况。由图8-1-4可见，相邻两部分频谱不重叠的条件是ms2ms2ms2（8-1-10）而2ωm,为连续信号的有限频率带宽。综上所述，只有在的条件下，才能将采样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号。这就是香农（Shannon）采样定理。ms28-2保持器零阶保持器零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它将前一采样时刻nT的采样值e(nT)保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号与输出信号的关系如图8-2-1所示。图8-2-1零阶保持器的输入和输出信号由图可见，零阶保持器的输出信号是阶梯形的，包含高次谐波，与要恢复的连续信号有区别的。若将阶梯波输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号滞后T/2的曲线，反映了零阶保持器的相位滞后特性。零阶保持器的单位脉冲响应如图8-2-2所示，它可以表示为Ttttgh11上式的拉普拉斯变换式为setgLsGTshh1（8-2-1）图8-2-2零阶保持器的单位脉冲响应单位脉冲响应的拉普拉斯变换，就是零阶保持器的频率特性jejGTjh1（8-2-2）或jGjGjGhhh（8-2-3）式中222sinTjGTTTjGhh（8-2-4）零阶保持器的幅频特性如图8-2-3所示。由图可见，它的幅值随角频率ω的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性。图8-2-3零阶保持器的幅频特性若将零阶保持器传递函数展开为下列级数形式21111111122sTTssessesGTsTsh（8-2-5）只取级数的前两项，可得TsTsssGh111111（8-2-6）这就是说，零阶保持器可以近似地用RC网络实现。若取级数的前三项，则2121211112222sTTsTsTsTTsssGh这可用图8-2-4所示的无源网络实现。图8-2-4无源网络8-3差分方程设采样系统的框图如图8-3-1所示。在第k个采样时间间隔中，零阶保持器的输出为TktkTkTeteh1,考虑到积分环节的作用，在该周期内输出c(t)由下式决定式中kTtkTekTctcTktkT1图8-3-1采样控制系统由此可得kTTekTcTkc1或简写为kTekckc1（8-3-1）考虑到kckrke，上式可改写为kTrkcTkc11（8-3-2）这就是图8-3-1所示采样系统的差分方程。根据式(8-3-2)可得10121011010111120011kiikkirTTcTkcTrTrTcTTrcTcTrcTc（8-3-3）一般n阶线性常系数差分方程的形式为krbmkrbmkrbkcankcankcmn11101（8-3-4）8-4Z变换Z变换的定义连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为设f(t)的采样信号为f*(t)0dtetftfLsFst（8-4-1）其拉普拉斯变换式为0*nnTtnTftf0*nnTsenTfsF（8-4-2）上式中是s的超越函数，不便于直接运算，因此引入一个新的复变量sTeTsez（8-4-3）将上式代入式（8-4-2），得0*nnznTfzFtfZ（8-4-4）式（8-4-4）被定义为采样函数f*(t)的z变换。它和式（8-4-2）是互为补充的两种变换形式。前者表示z平面上的函数关系，后者表示s平面上的函数关系。Z变换的方法1、级数求和法将离散函数f*(t)展开如下nTtnTfTtTfTtTftfnTtnTftfn2200*（8-4-5）然后逐项进行拉普拉斯变换，得nTsTsTsenTfeTfeTffsF2*210（8-4-6）或nenTfeTfeTffzF21210上式即为离散函数的z变换的展开形式。、、、210,11nnT得：代入式将)648(11nTnTfnzzztz1111121上式写成闭合形式，即1111111zzzzztz例8-4-1求单位阶跃函数1(t)的z变换。解单位阶跃函数的采样函数为(8-4-7)例8-4-2求的z变换。atetf解anTenTftf*根据式(8-4-6)可得nnaTaTaTzezezezF2211，得上式两边同乘1zeaTnnaTaTaTaTzezezezFze2211上两式相减，可以求得111zezFaTaTaTaTezezzzezF,111(8-4-8)2、部分分式法设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为有理函数，可以展开为部分分式的形式，即niiipsAsF1(8-4-9)变换为上式的—常系数；—的极点；——式中zAsFpiinitpiiezzAzF1(8-4-10)例8-4-3设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为assasF，试求其z变换。解将F(s)展开为部分分式assassasF11由例8-4-1和例8-4-2可知111111111111zezzezezzFaTaTaT例8-4-4求的z变换。ttFsin解将F(s)展开为部分分式jsjjsjssF212122由此可得变换为，其的原函数为因为1111zezejsTjtj1cos2sincos21sin11211121221111TzzTzzzTzTzejzejzFTjTj3、留数计算法设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式F(s)及其全部极点ip为已知，则可用留数计算法求其z变换。niiniTpiRezzpFrestfZzFi11*(8-4-11)时的留数。在为式中isTTpiipsezzsFezzpFresRi为时，其留数具有一阶极点当11RpssFsTpsezzsFpsR11lim1(8-4-12)若f(s)具有q阶重复极点，则响应的留数为sTqqqpsezzsFpsdsdqR11lim!11(8-4-13)例8-4-5求的z变换。解tcosjsjsssssF22