第3课时与圆有关的计算1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.2.会计算圆的弧长、扇形的面积.知识点内容扇形的弧长l=__________扇形的面积S=__________=__________圆柱的侧面积S=Ch=2πrh圆柱的全面积S全=2πrh+2πr2圆锥的侧面积圆锥的全面积S全=πr2+πrlS侧=12Cl=πrlnπr180nπr236012lr知识点内容正多边形的概念各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.正多边形的中心即一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径即正多边形的外接圆的半径.正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角.边心距中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.(续表)扇形的弧长和面积计算例1:(2014年山东日照)如图4-4-43,正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母,点P是FA延长线上的点,在A,P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线,一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线,把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),则点P运动的路径长为()图4-4-43A.13πcmC.15πcmB.14πcmD.16πcm答案:B[解题技巧]计算弧的长度时,根据题意确定弧的半径和圆心是关键.解析:根据题意,点P运动的路径是6段弧线,弧的圆心角都是60°,弧的半径依次为12cm,10cm,8cm,6cm,4cm,2cm,根据弧长公式,点P运动的路径长为:60π×12180+60π×10180+60π×8180+60π×6180+60π×4180+60π×2180=π3(12+10+8+6+4+2)=14π(cm).例2:(2015年四川达州)如图4-4-44,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是()图4-4-44A.6πC.24πB.12πD.36π答案:C[解题技巧]计算阴影部分的面积时,当阴影部分的面积不规则时,试将图形拼凑成规则图形,然后再使用几何面积公式求解.解析:图中阴影部分的面积是:S=S扇形B′AB+S半圆O′-S半圆O=S扇形B′AB=60π×122360=24π.【试题精选】1.(2015年福建)在半径为6的⊙O中,60°圆心角所对的弧长是()A.πB.2πC.4πD.6π答案:B答案:A的圆心角的倍数.在应用公式计算时,“n”和“180”不再写单位.图4-4-452.(2015年四川德阳)如图4445,已知⊙O的周长为4π,AB的长为π,则图中阴影部分的面积为()A.π-2B.π-3C.πD.2[名师点评]在弧长公式l=nπR180和S=nπr2360中,n表示“1°”圆柱体的侧面积和全面积例3:(2015年广西河池)如图4-4-46,用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计).如果圆锥形帽)子的底面半径为10cm,那么这张扇形纸板的面积是(图4-4-46A.240πcm2C.1200πcm2B.480πcm2D.2400πcm2答案:A解析:圆锥底面周长等于扇形的弧长,由扇形面积公式S=12lr可得:扇形纸板的面积=12×2π×10×24=240π(cm2).【试题精选】3.(2015年新疆乌鲁木齐)圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形,则这个圆锥底面的半径是()B.12D.3A.24C.6答案:C4.(2015年山东德州)如图4-4-47,要制作一个圆锥形的烟囱帽,使底面圆的半径与母线长的比是4∶5,那么所需扇形铁皮的圆心角应为()图4-4-47A.288°B.144°C.216°D.120°答案:A[名师点评]有关立体图形的问题,常转化为平面图形来解决.圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的高不等于圆锥的母线长,要注意圆锥的母线在展开成平面图形后成为扇形的半径.正多边形和圆例4:(2015年湖北随州)如图4-4-48,⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是()图4-4-48A.R2-r2=a2C.a=2rtan36°B.a=2Rsin36°D.r=tcos36°答案:A解析:如图4448,作OF⊥BC,垂足为F.根据题意,OB=R,BC=a,OF=r,由OB2=OF2+BF2可得:R2=r2+a22,即4R2-4r2=a2,故选项A错误.根据正五边形的性质可求得∠1=36°,根据三角函数的定义可得:sin36°=BFOB=a2R,tan36°=BFOF=a2r,cos36°=OFOB=rR,即a=2Rsin36°,a=2rtan36°,r=Rcos36°,故选项B,C,D正确.【试题精选】答案:C5.(2015年广东广州)已知圆的半径是23,则该圆的内接正六边形的面积是()A.33B.93C.183D.363图4-4-49答案:D[解题技巧]解决正多边形的相关计算问题的关键在于添加辅助线(边心距和半径),将其转化为直角三角形,再运用勾股定理来解决.6.(2015年四川成都)如图4449,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为()A.2,π3B.23,πC.3,2π3D.23,4π31.(2015年广东)如图4-4-50,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形)(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB的面积为(图4-4-50A.6B.7C.8D.9答案:D2.(2013年广东)如图4-4-51,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是________.(结果保留π)图4-4-51解析:根据图D48,∠1+∠2=180°-90°-45°=45°.图D48∵∠ABC+∠ADC=180°,∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°-∠1-∠2=135°,∴阴影部分的面积应为S=135π×12360=3π8.答案:3π83.(2012年广东)如图4-4-52,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是________.(结果保留π)图4-4-52图D49=1,EB=AB-AE=2,∴阴影部分的面积:S=4×1-30π×22360-2×1÷2=3-13π.解析:如图D49,过点D作DF⊥AB于点F.∵DF=AD·sin30°答案:3-13π