第2章-电磁场基本方程

1第2章电磁场基本方程FundamentalEquationsofElectromagneticFields‹1831年法拉第发现了电磁感应现象，导致发电机的发明和人类电气时代的到来。‹1865年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组—麦克斯韦方程组,它是宏观电磁现象的基本规律，是本书学习的核心。本章将在复习“大学物理”电磁学部分的基础上，导出麦氏方程组，然后讨论它的边界条件、电磁场的能量关系和惟一性定律。构成其它章节的共同基础。2主要内容••静态电磁场的基本定律静态电磁场的基本定律••法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律••MaxwellMaxwell方程组方程组••电磁场的边界条件电磁场的边界条件••坡印廷定律和坡印廷矢量坡印廷定律和坡印廷矢量••惟一性定律惟一性定律第2章电磁场基本方程3§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量FundamentalLawsandBasicVectorsofStaticEMFields1．电荷微粒物质构成的带电体所带电量的多少称为电荷量，其值为电子电荷的整数倍，（库仑）。自然界存在两种电荷:正电荷和负电荷。191.60210eC−−=−×2．体电荷密度0dlimdVqqVVρ′Δ→Δ==′′Δ()r4§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量3．电流：电荷作定向运动，形成电流，其大小用电流强度来表示。单位为A(安培)。0dlimdtqqIttΔ→Δ==Δ4．体电流密度0dˆˆlimdsIISS′Δ→Δ==′′ΔJaa5§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量5.电荷守恒定律与电流连续性方程ddVJVtρ∂•=−∂∫∫SS()d0VVtρ∂∇⋅+=∂∫J→→tρ∂∇⋅=−∂J6.库仑定律0304εqqRπ=FR7.电场强度300=4εqqRπ=FER单位为V/m(伏/米)301()()()d4ε||VVρπ′−′′=′−∫rrErrrr6§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量8.静电场的通量、散度与高斯定理00dqEε⋅=∫SS0()()ρε∇⋅=rEr→静电场的基本性质（1）静电场是由通量源、不是由旋涡源产生的场；（2）静电场是有散、无旋场。()0∇×=Er7§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量9.安培定律、磁感应强度和毕奥-萨伐定律02'd(d)4RllIμπ××=∫∫lI'l'aFR02''d4RlIRμπ×=∫l'aB磁通密度的单位为Wb(韦伯)/m2或T(特斯拉)ddJVIl′′=考虑到03()()()d4||VVμπ×−′=−∫Jr'rr'Brrr'安培定律毕奥-萨伐定律8§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量10.磁通连续性原理和磁场强度0d0SB⋅=∫S定义BHμ=单位为A/m()0∇⋅=Br→静磁场的基本性质（1）静磁场不是由通量源，而是由旋涡源产生的；（2）静磁场是无散、有旋场。9基本定律积分形式微分形式特点静电场：无旋场（保守场，位场）——静电场的环路定律有散场，通量源是电荷ερvE=⋅∇or——高斯定理恒定电流的磁场：——安培环路定律有旋场，旋涡源是电流无散场（管形场）0=⋅∇Hor——磁通连续性原理静电场有散无旋，其通量源是静止电荷；恒定磁场有旋无散，其旋涡源是电流。它们互不相关。0E=×∇⇒vDρ=⋅∇⇒JH=×∇0B=⋅∇⇒⇒()0sdEs=⋅×∇∫即0ldEl=⋅∫(1)dvdvDvvv∫∫ρ=⋅∇即IldHl=⋅∫(1)0sdBS=⋅∫(2)Qsd=⋅DS∫(2)即()∫∫⋅=⋅×∇sssdJsdH即0dvBv=⋅∇∫§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量10基本场矢量§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量•电场强度•电通(量)密度(简单媒质）•磁场强度•磁通(量)密度(简单媒质）体电荷密度体电流密度(不是!))/(mVEEDmCDε=：)/(2()mAHHBmWbBμ=：)/(2()3mCvρ()2mA3mAJ11如图，同轴线的内外导体半径分别为a和b。在内外导体间加电压U，则内导体通过的电流为I，外导体返回的电流为-I。a)设内外导体上单位长度的带电量分别为，求内外导体间的；b)用电压U来表示，则=？其最大值=？c)若给定b=1.8cm，应如何选择a以使同轴线承受的耐压最大？例2.1llρρ−和ED及EMEρˆρD§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量ρˆρ[解]a)介质层中的电场都沿径向，垂直于内外导体表面，其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径长1的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。Dρˆρ12baρllDdsDlsρπρρ=⋅=⋅∫2ˆ,2ˆπρρρlD=得于是περρρε2ˆlDE==§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量abddlEUllballn22περρπερρ==⋅=∫∫故abUElnˆρρ=同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处：abMaUEln=b)13c)EM最大值发生于0)1(ln)ln(2=−=abaUdadEabM得1ln=abeab=故cm662.0718.28.1===eba§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量14高斯定理解题步骤：（1）分析电场是否具有对称性。（2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。（4）分别求出，从而求得及。sdDs⋅∫∑内SiqDE§2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线的面，使其成为闭合面。En⊥ˆ15§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律Faraday’sLawofElectromagneticInductionandtheTotalCurrentLaw静电场和静磁场的场源分别是静电荷和等速运动的电荷，它们是相互独立的。但是时变的电场和磁场之间是相互关联的。这首先由英国法拉第在1831年的实验中发现。∫⋅=ldlEε回路所感应的电动势∫⋅=SmSdBψ回路所交链的磁通量电场强度沿任一闭合路径的线积分等于该路径所交链的磁通量时间变化率的负值问题引入：MichaelFaraday（1791－1867）法拉第电磁感应定律：dtdmΨ−=ε一、法拉第电磁感应定律16引起磁通变化的原因分为二类：•回路不变，磁场随时间变化•磁场不变，回路切割磁力线有变应用Stokes定理，如果回路是静止的，则sBsEdd)(⋅∂∂−=⋅×∇∫∫SStt∂∂−=×∇BE因S是任意的，从而有意义：随时间变化的磁场将激发电场该感应电场是非保守场，其电力线呈闭合曲线。变化的磁场是产生感应电场的涡旋源。由此，变化的磁场产生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢？t∂∂B§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律感生电动势，如变压器sdtBdtds⋅∂∂−=Ψ∫＝－ε动生电动势，如发电机()lldBvdtd⋅×−=Ψ∫＝－ε17二、位移电流和全电流定律现有方程：vqρ=⋅∇D静态电场：0=×∇qEJH=×∇q0=⋅∇qB静态磁场：tii∂∂−=×∇BE时变电场：tQSddd−=⋅∫sJ电荷守恒定律用散度定理，将上式两端用体积分表示dvtdvtvVvVvV∫∫∫∂∂−=∂∂−=⋅∇ρρdJ得电流连续性方程：tv∂∂−=⋅∇ρJ(e)目标：总结出既适合静态场又适合时变场的普遍方程§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律18电场：t∂∂−=×∇BE(a))0,0,(=∂∂=×∇+=tBEEEEqqqivDρ=⋅∇(c)()0,==⋅∇+=viiqiDDDDρ磁场：()P.440,见=⋅∇+=iqiBBBB0=⋅∇B(d)JH=×∇()0b()())0)(e(0:b0静态场除非不符合—=∂∂⋅∇==×∇⋅∇⋅∇tJHvρ电流连续性方程tv∂∂−=⋅∇ρJ(e)§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律0=∂⋅∂∇tiB()?19()tJHv∂∂⋅∇==×∇⋅∇ρ＋0()bDHJt∂∇×=+∂由此得()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⋅∇=×∇⋅∇tDJH利用(c),则vDρ=⋅∇Maxwell提出，应保证(e)成立，即取§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律JamesClerkMaxwell（1831－1879）定义位移电流密度，单位A/m2tDJd∂∂=20位移电流的性质：1）实质是变化电场，不产生焦耳热！2）在激发磁场方面与I等效3）激发的磁场B与其成右手螺旋关系：0∂∂tDGdIBGDG0∂∂tDGDGBGdI§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律21磁场强度沿任意闭合路径的线积分，等于该路径所包围曲面上的全电流。对(b)两端作面积分，并用Stokes定理将左边的面积分化为线积分，得到积分形式的全电流定律。§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律()lsDHdlJdst∂⋅=+⋅∂∫∫v22三、全电流连续性原理a)各个电流特点如下b)全电流连续性原理将(b)两端取散度并用散度定理0d)(=⋅++∫SdvcsJJJ§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律1、传导电流：在导体中，由自由电子的定向运动形成：EJcσ=2、运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向运动形成：vJvvρ=3、位移电流：电通密度的时间变化率tDJd∂∂=传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流：ddvctJJJJJJ+++=＝穿过任一封闭面的各类电流之和恒为00=++dvcIII23例2.2已知平板电容器的面积为,相距为d，介质的介电常数，极板间电压为U，试推导电容器的电流与电压的关系。ε0A平板电容器[解]忽略极板的边缘效应:dtUEDdUE)(,εε===电场位移电流密度)(dtdUdtDJdε=∂∂=位移电流0()ddSAdUdUIJdSCIddtdtε====∫二平板间位移电流等于电路的传导电流作业：2.1-4，2.2-1§2.2法拉第电磁感应定律和全电流定律0ACdε=§2.3麦克斯韦方程组Maxwell’sEquations一、Maxwell方程组及电流连续性方程1.四个方程的简称及物理意义（a）法拉弟定律：时变磁场将激发电场；（b）全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场；（c）高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包围的自由电荷电量；（d）磁通连续性原理：穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。tBE∂∂−=×∇（a）tDJH∂∂+=×∇（b）vDρ=⋅∇（c）0=⋅∇B（d）dstBdlEsl⋅∂∂−=⋅∫∫()a′dstDJdlHsl⋅∂∂+=⋅∫∫)(()b′QdsDs=⋅∫()c′0=⋅∫dsBs()d′252.电流连续性方程：初始场源和是相关的，两者只有一个是独立的。Jvρ3.只有(a)(b)是独立方程，(c)(d)可由之导出：()0)(:=∂∂+⋅∇⋅∇tDJb()0)D(ttev=⋅∇∂∂+∂ρ∂−：代入上式将()常数CDv=⋅∇+−ρ则同理可导出(d)§2.3Maxwell方程组tJv∂ρ∂−=⋅∇(e)dtdQdsJs−=⋅∫()e′由于初始时刻，，得C=0()vDcρ∇⋅=0=vρ0=D26赫兹的电磁波实验4.麦克斯韦根据(a)(b)导出电磁波的波动方程，发现其传播速度与光速相同，推断光也是一种电磁波，并预言电磁波的存在。1888年德国赫兹首次发射和接收到电磁波。赫兹是亥姆霍兹的学生。1895年马可尼和波波夫成功地传送无线电报，开始了人类应用电磁波的新纪元。§2.3Maxwell方程组HeinrichRudolfHertz（1857－1894）理论源于实践又指导实践，并经受实践的检验。27（思考：不是完全对称的。为什么？）5.麦克斯韦方程组反映了自然界电磁现象的和谐美。6.Maxwell电磁理论是相对真理，而不是绝对真理，仅适用于宏观电磁现象。§2.3Maxwell方程组（描述微观电磁现象的是量子力学）28二、本构关系和波动方程a)本构关系σσσ⎧⎪∞⎨⎪∞⎩00理想介质：＝理想导体：＝导电媒质：简单媒质是指均匀、线性、各向同性的媒质若媒质参数与位置无关，称为均匀媒质；若媒质参数与场强大小无关，称为线性媒质；若媒质参数与场强方向无关，称为各向同性媒质；若媒质参数与场强