数学模型优化作业

数学建模组长：陈斌200911002149信息0941组员：侯志强200911002239信息0942吕明松200911002236信息09421，某快餐店坐落在一个旅游景点中。这个旅游景点远离市区，平时游客不多，而在每个星期六游客猛增。快餐店主要是为旅客提供低价位的快餐服务。该快餐店雇佣了两名正式职工，正式职工每天工作八小时，其余工作有临时工来担任，临时工每班工作4小时。在星期六，该快餐店从上午11点开始营业到下午10点关门。根据游客就餐情况，在星期六每个营业小时所需职工数（包括正式工和临时工）如下表所示：时间所需职工数时间所需职工数11:00-12:00917:00-18:00612:00-13:00918:00-19:001213:00-14:00919:00-20:001214:00-15:00320:00-21:00715:00-16:00321:00-22:00716:00-17:003已知一名正式职工11点开始上班，工作4小时后休息1个小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4小时后休息1个小时，而后再工作4小时。又知临时工每小时的工资为4小时。（1）在满足对职工需求的条件下如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小？（2）如果临时工每班工作时间可以是3小时也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本最小？比（1）节省多少费用？这时应安排多少临时工班次？解：设，1a：第11点开始工作的正式工；2a：第13点开始工作的正式工；ix：第i点钟需要的临时工人数1,2,...8;i1ix：第i点钟需要的4小时临时工人数1,2,...8;i2ix：第i点钟需要的3小时临时工人数1,2,...9;i（1），设第i点钟需要的临时工人数为ix个，1,2,...8;i1x表示第11点需要的临时工数，…，8x表示第18点需要的临时工数。由题意可得，如下表：时间11:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:0016:00-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:00需要人数9993336121277正式工1a11110111100正式工2a00111101111还需要人数8871215101066以雇佣临时工人数最少为目标函数：12345678min()xxxxxxxx；约束条件：112123123423453456456756786787888,8,7,1,2,1,5,10,10,6,6.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx由Lingo程序（附录1）可求得需要的最少临时工数，如下表：时间11:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:0016:00-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:00还需要人数81001406000按此方案需要临时工人数为20个，成本为80个小时。（2）假设需要4小时的临时工为1ix，需要3小时的临时工为2ix;11x表示第11点需要的4小时临时工数，…，18x表示第18点需要的4小时临时工数；21x表示第11点需要的3小时临时工数，…，29x表示第19点需要的3小时临时工数；以雇佣临时工人数工作小时最少为目标函数：1112131415161718212223242526272829min(4()3())xxxxxxxxxxxxxxxxx约束条件：1121111221221112132122231112131422232412131415232425131415162425261415161725262715161718262728,8,7,1,2,1,5,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx816171827282917182829182910,10,6,6.xxxxxxxxxxxx由Lingo程序（附录2）可求得需要的雇佣临时工工作时间最少的排班，如下表：时间11:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:0016:00-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:00需要4小时临时工人数00000006000需要3小时临时工人数80101040000最少时间为66小时，可以比问题一中少用14小时。附录：附录1min=x1+x2+x3+x4+x5+X6+x7+x8;x1=8;x1+x2=8;x1+x2+x3=7;x1+x2+x3+x4=1;x2+x3+x4+x5=2;x3+x4+x5+x6=1;x4+x5+x6+x7=5;x5+x6+x7+x8=10;x6+x7+x8=10;x7+x8=6;x8=6;Globaloptimalsolutionfoundatiteration:13Objectivevalue:20.00000VariableValueReducedCostX18.0000000.000000X21.0000000.000000X30.0000000.000000X40.0000000.000000X51.0000000.000000X64.0000000.000000X70.0000000.000000X86.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice120.00000-1.00000020.000000-1.00000031.0000000.00000042.0000000.00000058.0000000.00000060.000000-1.00000074.0000000.00000080.0000000.00000091.0000000.000000100.000000-1.000000110.0000000.000000120.0000000.000000附录2min=4*(x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18)+3*(x21+x22+x23+x24+x25+X26+x27+x28+x29);x11+x21=8;x11+x12+x21+x22=8;x11+x12+x13+x21+x22+x23=7;x11+x12+x13+x14+x22+x23+x24=1;x12+x13+x14+x15+x23+x24+x25=2;x13+x14+x15+x16+x24+x25+x26=1;x14+x15+x16+x17+x25+x26+x27=5;x15+x16+x17+x18+x26+x27+x28=10;x16+x17+x18+x27+x28+x29=10;x17+x18+x28+x29=6;x18+x29=6;Globaloptimalsolutionfoundatiteration:12Objectivevalue:66.00000VariableValueReducedCostX110.0000000.000000X120.0000000.000000X130.0000001.000000X140.0000000.000000X150.0000000.000000X160.0000001.000000X170.0000001.000000X186.0000000.000000X218.0000000.000000X220.0000001.000000X231.0000000.000000X240.0000000.000000X251.0000000.000000X260.0000001.000000X274.0000000.000000X280.0000001.000000X290.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice166.00000-1.00000020.000000-2.00000030.000000-1.00000042.0000000.00000050.000000-1.00000060.000000-2.00000070.0000000.00000080.000000-1.00000090.000000-1.000000100.000000-1.000000110.0000000.000000120.000000-2.0000002，某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：由题意可知如下表，可以有五种下料方法：1.5m(根)2.1m（根）2.9m（根）总计(m)剩余(m)方法一3106.60.8方法二3017.40方法三2207.20.2方法四1027.30.1方法五0217.10.3设X1，X2，X3，X4，X5，分别表示以上五种方法下料时所需的原料根数，建立数学模型：目标函数：MinX1+X2+X3+X4+X5；约束条件：s.t.X10,X20,X30,X40,X50；X1+2X2+X4100；2X3+2X4+X5100；3X1+X2+2X3100；使用Lingo软件算出最优下料方案为：X1=0，X2=30，X3=0，X4=10，X5=50；即先按方法二下料30根，再按方法四下料10根，最后按方法五下料50根。所以总共只需要90根原料即可生产处100套钢架。