排列组合知识点及典型题

业精于勤荒于嬉0专题四排列组合一．两个计数原理1、分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有21mmN…nm种不同的方法分类的原则：分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分为相应的类，二是不同类的任何方法必须是不同的方法，只要满足这两条基本原则，就可以确保计数的不重不漏。(完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法。)2、分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有21mmN…nm种不同的方法分布的原则：a:明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说，是否必须经过几步才能完成这件事。b:完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成。c:根据题意，正确分布，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步的去做，才能完成这件事，各个步骤之中既不能重复也不能有遗漏。3、两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数4、两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”5、原理浅释：分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时，要求各类办法彼奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆业精于勤荒于嬉1此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏.如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同.两个原理的公式是:21mmN…nm,21mmN…nm这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步.强调知识的综合是近年的一种可取的现象.两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比.6、方法提示a.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清晰。b.一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性。1.dcba,,,排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法共有多少种？2.关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？3.书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书。（1）从这些书中任意取一本数学书，一本语文书，一本英语书共三本书的不同取法有多少种（2）从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？4.从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆业精于勤荒于嬉2样的子集共有多少个?5.将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A.6种B.9种C.11种D.23种6.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.7.(2011北京理12)用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个(用数字作答)8.(2012北京理5)从0，2中选一个数字.从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.69.(2011浙江理6)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种10.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分(如图)，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种(以数字作答).11.将一四棱锥的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种12.(2010天津理)如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用()A.288种B.264种C.240种D.168种二．排列组合DBCEA546132业精于勤荒于嬉3一.基本计算公式(一)排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！！)(mnn.(n，m∈N*，且mn).注:规定1!0.(二)组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！！！)(mnmn(n∈N*，mN，且mn).二．常用策略(1)特殊元素优先策略(2)合理分类与准确分步策略(3)排列组合混合问题先选后排策略(4)元素相同问题隔板策略(5)相邻问题捆绑策略(6)不相邻问题插空策略(7)定序问题除法策略(8)多排问题直排策略(9)重排问题求幂策略(10).环排问题线排策略(11)“小集团”问题先整体后局部策略(12)构造模型的策略(13)正难则反总体淘汰策略（14）住店法策略（15）复杂分类问题表格策略（16）树图策略（17）数字排序问题查字典策略（18）化归策略(19)分解与合成策略(20)实际操作穷举策略(21)构造模型策略(22)平均分组问题除法策略（一）特殊元素优先安排例1.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个？（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。例2．（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？（2）这四位数中能被3整除的数有多少个？业精于勤荒于嬉4例3.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288CCA1.(2008辽宁理9)一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A．24种B.36种C.48种D.72种2.(2012全国文7)6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A.种B.360种C.种D.种3.(2009广东理7)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A.36种B.12种C.18种D.48种4:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480AAA种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20240480720乙甲丁丙要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件业精于勤荒于嬉5(二)不相邻问题插空策略例1.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？例2.5男6女排成一列，问（1）5男排在一起有多少种不同排法？（2）5男不都排在一起有多少种排法？（3）5男每两个不排在一起有多少种排法？（4）男女相互间隔有多少种不同的排法？例3.个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种例4.某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有种例5.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456AA种1.（2013全国大纲卷）个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____种2.(2012辽宁理5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．B.C.D.3.某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，已经排好的10个节目的相对顺序不变，且3个新节目不相邻，则该晚会的节目单的编排总数为种4.“同一首歌”心连心文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入3个舞蹈节目，如果这三个舞蹈节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有（）种高考资源网A.200B.300C.420D.210633!33(3!)4(3!)9!元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端业精于勤荒于嬉65.现有六名学生站成一排照相，其中甲、乙两人不能相邻，丙、丁两人也不能相邻，则不同的站排方法共有（）A.408种B.336种C.264种D.240种(三).重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第