数值分析李庆扬第五版第一章绪论

数值分析西南石油大学理学院丁显峰教材和参考书教材：数值分析（第五版），李庆扬，王能超，易大义编，清华大学出版社参考书：工程数学模型与数值计算方法刘小华编石油工业出版社教学要求•了解计算方法研究的主要内容；•掌握计算方法的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力；•掌握数值计算的各种方法（或算法）的基本思想，进一步提高数值计算能力；•能够与实际问题相结合，利用所学算法解决一些实际的数学模型问题。说明•学时：授课36•成绩评定：–期末考试（70%）–平时作业（课堂和课后）（20%）–平时考勤（10%）•联系方式:–E-mail：[e-mail]–QQ：503698285–Tel：[phone]随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业；例如：气象、地震资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，油藏的数值模拟，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具的数值计算方法已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课，也是工科硕士研究生的学位必修课。为什么要开设这个课呢？1.绪论1.认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应“公式多”的特点；2.注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基本提法，逐步深入；3.理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本线索，对最基本的算法要非常熟悉；4.认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是用于实际计算，必须真会算。如何进行学习？数值分析又称计算方法或数值计算方法，是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程，它研究的是各种数学问题的一类近似解法——数值方法，即从一组原始数据（如模型中的某些参数）出发，按照确定的运算规则进行有限步运算，最终获得数学问题数值形式的满足精度要求的近似解。1.1研究对象数值分析方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。与纯数学的理论方法不同，用数值分析所求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算数值结果根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机算出结果，这一过程便是数值分析研究的对象数值计算方法的任务数值计算方法的主要特点借助计算机提供切实可行的数学算法。想的精确度；收敛且稳定；误差可以分析或估计。所提出的算法必须具有：可靠的理论分析；理时间复杂性好__指节省时间；空间复杂性好__指节省存储量。计算复杂性好通过数值实验证明算法行之有效.采用“近似替代”方法→逼近采用“构造性”方法采用“离散化”方法把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题采用“递推化”方法复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易于用循环结构来实现（迭代法）。采用各种搜索方法构造数值算法主要手段1、数值逼近插值与拟合、数值积分与微分2、数值代数线性代数方程组的解法、非线性代数方程（组）的解法3、微分方程数值解ODEPDE1.2研究内容概念包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限等误差截断误差、舍入误差的详细内容，误差种类等分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则1.3误差要求掌握的内容1.3.1误差的来源与分类从实际问题中抽象出数学模型——模型误差建立数学模型时所引起的误差；例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落，其下落距离s与时间t的关系是：mgdtsdm22其中g为重力加速度。通过测量得到模型中参数的值——观测误差测量工具的限制或在数据的获取时随机因素所引起的物理量的误差。求近似解——方法误差（截断误差）用数值方法求解数学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差；例如，当函数fx用maclaurin多项式()200001!2!!nnnfffPxfxxxn近似代替时，数值方法的截断误差是(1)1(1)!nnnnfRxfxPxxn与0之间。在x机器字长有限——舍入误差用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，如：14159265.3414213562.12166666666.061!311415927.34142136.1216666667.0!31在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的误差）对计算结果的影响！1.3.2误差与有效数字1、绝对误差与绝对误差限**exx例：若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。1.45米的绝对误差=？不知道！定义：设是准确值，为的一个近似值，称x*xx是近似值的绝对误差，简称为误差。*x*e****xxx**xx但实际问题往往可以估计出不超过某个正数，*e*即则称为绝对误差限，有了绝对误差限**xx*就可以知道的范围为x即落在内。****,xxx在应用上，常常采用下列写法来刻划的精度。*x例:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求桌子长度的取值范围。这是桌子实际长度x一个近似值,由米尺的精度知,这个近似值的误差不会超过0.5cm(即绝对误差限为1/2cm),则*11452xxxcm144.5≤x≤145.5即x∈[144.5,145.5]或x=145±0.5cm绝对误差的某个上界例1设x==3.1415926…近似值x*=3.14,它的绝对误差是0.0015926…，有‌‌x-x*=0.0015926…0.002=0.210-2例2又近似值x*=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-5例3而近似值x*=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有x-x*=0.0000926…0.0001=0.110-3可见，绝对误差限*不是唯一的，但*越小越好2、相对误差与相对误差限定义：设是准确值，是近似值，是近似值的误差，x*x通常取为近似值的相对误差，记作，*re*x*e**exxxx称一般情况下是不知道的，怎么办？*****rexxexx事实上，当较小时***reex22**************1exxeexeexxxxxxeex是的二次方项级,故可忽略不计.*re相应地，若正数r满足**rxxx则称为的相对误差限。rx例4.甲打字每100个错一个，乙打字每1000个错一个，求其相对误差限解：根椐定义:甲打字时的相对误差限乙打字时的相对误差限00*11001re00*1.010001re3、有效数字定义：如果nxx1021*则说近似表示准确到小数后第位，并从这由上述定义410211416.3*xxn第位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。n定义:'*121210101010mnnxaaa*若近似值的误差限是某一位的半个单位,*x也即，若*1102mnxx有位有效数字。n则称*x其中，是1到9中的一个数字；是0到9中一个数字；为整数，且1a2naam该位到的左边第一位非零数字共有位,*xn就说有位有效数字。*xn取作的近似值，就有三位有效数字；*3.14x*x取作的近似值，就有五位有效数字。*3.1416x*x例如：x-x*=0.0015926…0.002=0.210-20.510-2前面例1前面例2x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-50.510-4关于有效数字说明①用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则x*必有n位有效数字。如3.142作为的近似值有4位有效数字，而3.141为3位有效数字②有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者均有5位有效数字但绝对误差不一样x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数④准确值具有无穷多位有效数字,如三角形面积S=1/2ah=0.5ah因为0.5是真值,没有误差*=0,因此n,准确值具有无穷位有效数字4、误差限与有效数字的关系则至少具有位有效数字。Th1：*xn对于用式表示的近似数，若具有位有效数字，则其相对误差限为反之，若的相对误差限为**xn*x1*11102nra*x1*11102(1)nra*121210101010mnnxaaa*例5已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限解：已知n=2代入公式r*=1/2x110-(n-1)得r*=1/2x110-1x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下讨论：当x1=1r*=1/2x110-1=1/2*110-1=5%x1=9r*=1/2x110-1=1/2*910-1=0.56%取x1=1时相对误差为最大，即5%例6已知近似数x*的相对误差限为0.3%，问x*有几位有效数字？解：由)1(1*10)1(21nrxe)1(110)1(2110003nx得ⅰ当x1=1时,310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1)上式两边取以10为底的对数得lg22+lg3+(-3)=-n+1∵lg2=0.3010lg3=0.477120.3010+0.4771-4=-n∴n=2.9209ⅱ当x1=9时,310-3=1/2010-(n-1)610-3=10-n上式两边取以10为底的对数得lg2+lg3+(-3)=-n∴n=2.2219即x*至少有3位有效数字例7为使的近似数的相对误差小于0.1%，问查开方表时，要取几位有效数字？解：∵89∴x1=8∴-(n-1)lg2+2lg3+(-3)-n1.2552-4-n-2.7448∴n2.7448取n=3即查平方表时8.37取三位有效数字70703)1()1(110101811000110)1(21nnx70∴1.3.3数值运算的误差估计1、四则运算的误差估计两个近似数与,其误差限分别为及,它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为*1x*2x*1x*2x****1212xxxx******121221xxxxxx****1221***1222*2/0xxxxxxxx)(xfxx*)()(*xfxf从而有)(xfx2)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxfx2)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf))(()()(xxxfxfxf)(xf)()())((xexfxfe)(xf)()()())((xexfxfxfer的相对误差对于近似值，函数在舍去右边第二项得到即的绝对误差可以得到附近按泰勒展式展开得到2、函数误差估计当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的Taylor展开式进行估计。对绝对误差式两边取绝对值得2)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf))((xxxf)()(xxf)(xf)()())((xxfxf)(xf)()()())((xxfxfxfr