【红对勾】人教A版高中数学必修4课件：1-5-2函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用-[-高考]

第一章三角函数系列丛书进入导航第一章三角函数RJA版·数学·必修4第一章三角函数系列丛书进入导航1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用提高篇课时作业预习篇课堂篇巩固篇第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41.知道函数y＝Asinωx＋φ中参数A，ω，φ的物理意义.2.整体把握函数y＝Asinωx＋φ的图象与性质，并能解决有关问题.学习目标第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4重点：函数y＝Asinωx＋φ的性质及应用；难点：由三角函数的部分图象求解析式.重点难点第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4预习篇01新知导学第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈[0，＋∞))中，叫振幅，T＝2πω叫，f＝ω2π叫，叫相位，叫初相．简谐运动A周期频率ωx＋φφ第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．在简谐运动中，y＝－sin2x－π3的初相、振幅、周期分别为多少？在确定这些量时，需注意什么问题？第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4答：y＝－sin(2x－π3)的周期T＝π，但振幅A≠－1，初相φ≠－π3.因为y＝Asin(ωx＋φ)中A0，所以该函数需变形为y＝－sin(2x－π3)＝sin[(2x－π3)＋π]＝sin(2x＋2π3)，所以初相φ＝2π3，振幅A＝1.在确定这些量时，必须利用诱导公式先化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其中A0，ω0.第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，φ0)的性质．(1)定义域：R.第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(2)值域：当x＝(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝(k∈Z)时，y取最小值－A.(3)周期性：周期函数，周期为.[－A，A]．2kπ＋π2－φω2kπ－π2－φω2πω第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是函数；当且仅当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是函数．(5)单调性：单调递增区间是[，2kπ＋π2－φω](k∈Z)；单调递减区间是[，2kπ＋3π2－φω](k∈Z)．奇偶2kπ－π2－φω2kπ＋π2－φω第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修42．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？答：对称中心为图象与x轴的交点；对称轴为过其图象最高点或最低点与x轴垂直的直线．第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修43．由y＝Asin(ωx＋φ)的性质或部分图象如何确定解析式？答：解决问题的关键是确定参数A，ω，φ，基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(2)因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个“零点”(－φω，0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置，来确定φ.第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)中参数的理解(1)A：它表示做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅．(2)T：T＝2πω，它表示做简谐振动的物体往复运动一次所需的时间，称为周期．第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(3)f：f＝1T＝ω2π，它表示做简谐振动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率．(4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相．第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修42．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4课堂篇02合作探究第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例1】设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－πφ0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．【分析】根据对称轴的特征，求φ可使x＝π8时，f(x)＝±1求得，进而利用整体代换的思想求单调增区间．函数图象的对称性第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】(1)方法一：∵x＝π8是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，∴sin(2×π8＋φ)＝±1.∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∵－πφ0，∴φ＝－3π4.方法二：∵x＝π8是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4∴对任意x有f(x)＝f(2×π8－x)＝f(π4－x)．取x＝0，则f(0)＝f(π4)．∴sinφ＝sin(π2＋φ)＝cosφ，即tanφ＝1.又－πφ0.故φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y＝sin(2x－3π4)．由题意得2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2，k∈Z，第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4即kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．∴函数y＝sin(2x－3π4)的单调增区间为第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼1函数y＝Asinωx＋φ的图象关于直线x＝xk其中ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z成轴对称图形，也就是说过波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴.2函数y＝Asinωx＋φ的图象关于点xj，0其中ωxj＋φ＝kπ，k∈Z成中心对称图形，也就是说函数图象与x轴的交点平衡位置点是其对称中心.第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4已知函数f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω0)的最小正周期为π，则该函数图象()A．关于点(π3，0)对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点(π4，0)对称D．关于直线x＝π3对称第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解析：由T＝2πω＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋π3)，则该函数图象关于点(π3，0)对称．答案：A第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例2】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．求函数f(x)的解析式．由函数的图象确定函数的解析式第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】由题设图象知，周期T＝2(11π12－5π12)＝π，∴ω＝2πT＝2，因为点(5π12，0)在函数图象上，所以Asin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又∵0φπ2，∴5π65π6＋φ4π3，第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以Asinπ6＝1，A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼根据三角函数的图象求函数fx＝Asinωx＋φ解析式，一般先结合图形求得振幅和周期，从而求得A，ω；再利用特殊点一般是最高点或最低点在图象上，并结合题目已知φ的范围求出φ，从而求出fx的解析式.)第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0，|φ|π2)的图象如图所示，则f(x)的表达式是()第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4A．f(x)＝52sin2x＋π3B．f(x)＝52sinx＋π3C．f(x)＝32sin2x＋π3＋1D．f(x)＝32sinx＋π3＋1第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解析：函数的周期为π，∴ω＝2ππ＝2，振幅A＝52＋122＝32，k＝52＋－122＝1，当x＝π12时，函数取得最大值52.故选C.答案：C第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的运用第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【分析】(1)由f(x)是偶函数能否求出φ的值？(由f(－x)＝f(x)可求得φ)(2)利用函数f(x)＝sin(ωx＋φ)关于点M(3π4，0)对称能得到什么结论？(f(3π4)＝0，因此34ωπ＋φ＝kπ(k∈Z))(3)函数的单调性与其周期有关系吗？(有，π2－0≤T2，T为函数f(x)的最小正周期)第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称．∴f(x)在x＝0时取得最值．即sinφ＝1或sinφ＝－1.依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin(3π4ω＋π2)＝0，∴3π4ω＋π2＝kπ(k∈Z)，解得ω＝4k3－23，k∈Z，第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4又f(x)在[0，π2]上是单调函数，所以T≥π，即2πω≥π，又ω0，∴0ω≤2.∴当k＝1时，ω＝23；当k＝2时，ω＝2.∴φ＝π2，ω＝2或23.第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求出使f(x)取最大值时x取值的集合．第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解：(1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.第一章·1.5·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4∴函数f(x)的单调减区间为