中南大学-大学物理-电磁学-量子物理基础

15-1德布罗意波实物粒子的波粒二象性一、德布罗意波德布罗意提出了物质波的假设：一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样,具有波粒二象性。运动的实物粒子的能量E、动量p与它相关联的波的频率和波长之间满足如下关系：hmcE2hmp德布罗意公式(或假设)与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)电子的德布罗意波长为eUmh02)A(3.120UVU1500A1例如：电子经电势差U加速后eUm20212201cmhmhph0,mhc则如果02meU例一）一质量m0=0.05Kg的子弹，v=300m/s，求其物质波的波长。解：)(104.430005.01063.634340mvmhphcv例二）一原静止的电子被电场加速到速度v（vc）,加速电压为U，则速度为V的电子的德布罗意波长为多大？UemhmeUmhvmhphmeUveUvm000002022221)(103.12100mUmeh得的值，、、代入当U=100伏时23.13.12UÅ二、德布罗意波的实验证明(电子衍射实验)1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。GK狭缝电流计镍集电器U电子束单晶衍射最大值：3,2,1sin2kkdmeUh2电子的波长：meUhksind225102015250IU一切微观粒子都具有波粒二象性。实验表明电流极大值正好满足此式1927年汤姆逊（G·P·Thomson）以600伏慢电子（=0.5Å）射向铝箔，也得到了像X射线衍射一样的衍射，再次发现了电子的波动性。1937年戴维逊与GP汤姆逊共获当年诺贝尔物理学奖（G·P·Thomson为电子发现人J·J·Thmson的儿子）尔后又发现了质子、中子的衍射L.V.德布罗意电子波动性的理论研究1929诺贝尔物理学奖C.J.戴维孙通过实验发现晶体对电子的衍射作用1937诺贝尔物理学奖三、德布罗意波的统计解释1926年，德国物理学玻恩(Born,1882--1972)提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具有确定的位置和确定的动量。15-2不确定关系UncertaintyRelation电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单缝衍射的图样，若电子波长为，则让电子进行单缝衍射则应满足：3.2.1k明纹暗纹2)12(sinkakasin{1)位置的不确定程度用单缝来确定电子在穿过单缝时的位置电子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的的缝中通过.结论:电子在单缝处的位置不确定量为ax我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不确定程度U2）单缝处电子的动量的不确定程度先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象性结果，不能归于外部的原因，即不是外界作用的结果。如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉我们衍射的花样与单缝材料无关，只决定于电子的波长与缝宽a，可见不能归结于外部作用。显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因此通过单缝后，其动量大小P不变。但不同的电子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有所不同。单缝处，衍射角为θ的电子在X轴上存在动量的分量aBKEXPaPbPdPecPbaPPePdPPc其衍射角分别为：caedbaecbdaaxPPsinbbxPPsin0sinccxPPddxPPsineexPPsin即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值······UXxPPxpypp电子束x缝屏幕a2axX方向电子的位置不确定量为：ax电子大部分都到达中央明纹处.研究正负一级暗纹间的电子。这部分电子在单缝处的动量在X轴上的分量值为：sin0PPx为一级暗纹的衍射角sinasinppxapphPxpxhphpxpypp电子束x缝屏幕a2axX方向电子的位置不确定量为：ax由单缝暗纹条件：为一级暗纹的衍射角到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在X轴上的分量的不确定量为xp考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：经严格证明此式应为：hxpx不确定关系式，这就是著名的海森伯222zpypxpzyxhxpx设有一个动量为P，质量为m的粒子，能量考虑到E的增量：EPmVccPcmPPcE222420222PVPtx2/pxtE2tE即：能量与时间不确定关系式能量与时间不确定关系22420cPcmE不确定关系式的理解1.用经典物理学量——动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制。3.不确定关系指出了使用经典物理理论的限度2.不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的，不能理解为仪器的精度达不到。所以坐标及动量可以同时确定1.宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？，若的乒乓球,其直径,可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？例kgm210cmd51200smvxmx610smkgmvmmxhxvmxx/.2103.51041063.64229634问题？电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。01Adx例一电子以速度的速度穿过晶体。161001sm.vxxmvx21103134101010sm1710sm1610smvx2.微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？Vmx2/2/xPx例3电子射线管中的电子束中的电速度一般为105m/s，设测得速度的精度为1/10000，即V=10m/s，求电子位置的不确定量。解：mm63134103.610101.94/1063.6可以用位置、动量描述X结论：能否用经典方法来描述某一问题，关键在于由不确定关系所加限制能否被忽略。)xt(cosA)t,x(y2)(2),(xtiAetxy单色平面简谐波波动方程1、波函数描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子)(20),(xtietx0)t,x(区别于经典波动只取实部hEph)(0),(pxEtietx2h其中15-3薛定谔方程一、波函数概率密度自由粒子的物质波波函数)(0),(PxEtietx)(0),(rpEtietr2、概率密度波函数的统计铨释（波恩Born）代表什么？看电子的单缝衍射：1）大量电子的一次性行为：U极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大，220或大220或小波强度小，波强介于二者之间粒子的观点波动的观点统一地看：粒子出现的几率正比于220或2）一个粒子多次重复性行为较长时间以后极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大，220或大220或小波强度小，波强介于二者之间粒子的观点波动的观点U统一地看：粒子出现的几率正比于220或则波函数模的平方表征了t时刻，在空间(x,y,z)处出现粒子的概率密度结论：某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率正比于该地点波函数模的平方和体积元体积：dVdW,2通常比例系数取1:dVdW2dV)(共轭复数为2dVdWw物质波与经典波的本质区别经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。可测量，具有物理意义1)物质波是复函数，本身无具体的物理意义，一般是不可测量的。22)物质波是概率波。C等价对于经典波CAA振幅ECE2能量).(tr1VdVW3、波函数的标准化条件与归一化条件1）波函数具有有限性在空间是有限函数2）波函数是连续的只差一微量几率密度处与处的几率密度即在)()(rdrwrdrrwr3）波函数是单值的粒子在空间出现的几率只可能是一个值4）满足归一化条件1dVW（归一化条件）因为粒子在全空间出现是必然事件（Narmulisation）波函数的标准条件：单值、有限和连续微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，决定性的。量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）解：利用归一化条件dx)x(2例：求波函数归一化常数和概率密度。)0()0(0axxasinAeax,xxEtiadxaxsinA022122aAaA22w)0(2)0(02axaxsinaax,x这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程)(),(pxEtiAetx2222pxEit对于非相对论粒子mpE22tixm2222一维自由粒子的波函数1、薛定谔方程二、薛定谔方程在外力场中粒子的总能量为：Uxmti2222),(212txUpmE一维薛定谔方程2222pxEit三维薛定谔方程Umti2222222222zyx拉普拉斯算符哈密顿量算符),,,(2ˆ22tzyxUmH薛定谔方程HˆtititzyxUm),,,(222)(),,(),,,(tfzyxtzyx如势能函数不是时间的函数代入薛定谔方程得：tffiUm12122用分离变量法将波函数写为：),,(2ˆ22zyxUmH只是空间坐标的函数只是时间的函数2、定态薛定谔方程EEtike)t(fEUm222Etie)z,y,x()t,z,y,x(粒子在空间出现的几率密度222Etie)z,y,x()t,z,y,x(2)z,y,x(几率密度与时间无关，波函数描述的是定态定态薛定谔方程定态波函数02222)x()VE(m)x(dxd粒子在一维势场中tffiUm12122E质量为m的粒子在外力场中作一维运动势能函数为：),0()0(0)(axxaxxU当x0和xa时，0)x()(xUOax三、一维无限深势阱)ax(mEdxd002222EHˆmEk2令0222kdxd方程的通解为：)kxsin(A)x(由边界条件00)(0)a(0sinA0kasinA2222dxdmHˆ0,,nankn21)(xUOax粒子的能量32122222,,nn)ma(EnmEk2,,nankn21)kxsin(A)x(xansinAdx)xan(sinAdx)x(a0222122aAaA2)ax()xansin(a)ax,x()x(n0200一维无限深势阱中的粒子)x(2)x(