3章2内燃机缸内流动-湍流模型-2010

第三章内燃机缸内流动高等内燃机学北京理工大学内燃机缸内流动四缸内湍流流动的数学模型1雷诺方程与湍流粘性系数2湍流粘性系数方程3单方成模型——湍能的k方程模型4双方成模型——k-ε模型5雷诺应力模型6代数应力模型7非粘性涡粘度模型，等1雷诺方程与湍流粘性系数iijijkkjjijigsspxuuxut~2~32~~~湍流是一种连续介质的流动形态,其瞬时流依然满足流体动力学的基本方程——N-S方程为重力加速度为速度散度；为流体应变率张量式中：ikkkkijjiijgxusxuxus/~~2/)/~/~(~将瞬时速度代入上述方程，忽略密度脉动，并取平均，便得到湍流的雷诺方程：iiiuUu~ijiijijkkjjijiguusspxUUxUt232雷诺应力雷诺方程增加了脉动速度相关矩：即为雷诺应力。它是一个二阶张量。反映的是湍流脉动所引起的穿越流体单位面积上的动量输运率。jiuu湍流模型是以现象学为基础，基于一些假设，建立的雷诺应力与平均流参数间的半经验公式。232313322212312121uuuuuuuuuuuuuuuuujiij在雷诺方程中，由于雷诺应力的出现，未知数的个数多于方程的数目，方程组不再封闭。目前没有更多的物理定律可以增添新的方程，为了解决方程组的封闭问题，必须建立雷诺应力(或脉动量)与平均速度间的关系——湍流模型。湍流粘性系数雷诺应力对动量输运功能与粘性应力类似。参照牛顿内摩擦定律，Boussinesq（鲍辛涅斯克）在1877年提出的湍流粘性系数的概念，是模拟雷诺应力的最古老的概念，也是目前流行的大多数紊流模型的重要基石。鲍辛涅斯克假设，雷诺应力可类比于层流的粘性应力，与时均速度的梯度成正比。在平行剪切流中，雷诺切应力可表示为：dydUuuxtyxxy其中μt称为湍流（涡）粘性系数。与粘性系数不同，涡粘性系数不是流体的一个物性参数，它与当地的湍流结构和流动情况有关。上式写成更一般的形式如下：其中k是湍能。ijijjitjiijkdxdUdxdUuu32湍流问题处理方法湍流模型鲍氏假设雷诺应力的动量输运功能湍流粘性系数μt简化过度不很合理动量输运微分方程或简化代数方程湍流研究方法——基于现象复杂非线性问题:其它非线性处理方法常用的湍流模型有混合长度模型、亚网格尺度模型、单方程模型、k－双方程模型、(重整化群)RNGk－模型和雷诺应力模型（RSM）等。每一种模型都有其弱点，都是较适合的某一种流场和流态。湍流模拟方法分类湍流模拟完全模拟动量输运基于粘性概念基于雷诺时均方程基于输运特征零方程模型一方程模型两方程模型多方程模型基于非线性特征雷诺应力模型代数应力模型非线性湍粘度模型湍流大涡模拟畸变理论模型耗散理论模型由分子运动论：μ=1/3*ρυℓ其中：υ—分子热运动的均方根速度；ℓ—平均自由行程。仿照上述关系式：μt=Cμρυtℓt其中：υt、ℓt—湍流涡团的某一速度尺度和长度尺度。2湍流粘性系数方程υt—通常取为表征湍流脉动强弱的湍流度u’,由于u’正比于湍能k的平方根，故上式可表示为：μt=Cμρk1/2ℓt(1)混合长度理论—普朗特Prandtl（1925）ℓt视为与分子自由程相似的涡团自由程——混合长度ℓm。表示湍流涡团在随机运动中能保持自由前进而不与其它涡团相撞的距离（并不符合物理真实），并认为速度尺度：υt=ℓm|∂U/∂y|μt≡Cμρυtℓt~ρℓm2|∂U/∂y|——人为定义雷诺应力：τij=μt∂U/∂y=ρℓm2|∂U/∂y|∂U/∂y如何确定混合长度ℓm？一般需要根据具体问题做出假定。对于沿光滑壁面的湍流，普朗特提出，混合长度与壁面距离成正比（壁面湍流），即：比例系数由试验定。ℓm=ky(1)混合长度理论——应用混合长度理论是最早的湍流理论之一。由于简单，在工程上应用广泛。但该理论来自于分子运动相比拟，两者机理完全不同，理论上根据不足。如：∂U/∂y=0，则μt=0，也不合理。混合长度理论在内燃机缸内湍流计算中应用不多。在多维模型发展的较早阶段曾用它计算内燃机中的气体燃料射流与空气的混合。采用了二维形式的混合长度公式：μt=αρ|∂U/∂x+∂V/∂z|（Δx）2相当于将网格间距Δx取为混合长度。其中U、V分别为轴向z和径向x的平均流速。(2)亚网格尺度代数湍流模型（SGS-subgridscale）μt=ρKD2.λ2（SijSij/2）1/2不同尺度湍流涡团可解尺度亚网格尺度计算网格可分辨简单、可解尺度优点：小尺度结构各向同性强，易于模型化，结果更接近物理真实。——来自大涡模拟缺点：只能用于三维，需要精细的网格，计算量极大为了克服这一困难，作为SGS的一个粗略近似，提出了简化的SGS湍流粘度的代数公式：λ为网格单元的最大边长，KD为经验常数；Sij为流体应变率张量；注意到，对二维轴对称流：Sij=∂U/∂r+∂V/∂z，因此上述关系式与混合长度理论其实是一回事（尽管出发点很吸引人）。在KIVA软件的前期曾用过此模型，但随着计算机速度和容量的不断提高，该模型已逐渐被更完善的模型取代。3单方程模型—湍能的k方程模型如果用经验公式表示特征速度、特征长度（混合长度）[或者：湍流动能、能量耗散]——零方程模型。湍流模型雷诺应力湍流粘度动量输运长度与速度尺度输运微分方程两个输运特征湍能变化：k能量耗散：ε零方程模型的缺点：不能考虑这些参数随时间与空间的变化状况。两个湍流特征特征速度：υt特征长度：ℓ从动量输运的角度，建立湍能k-耗散率ε的微分方程，由此确定这些参数可以避免上述缺陷——单方程模型、双方程模型。3单方程模型—湍能的k方程模型在20世纪40年代kolmogorov提出了双方程（k-ε）模型的想法，但20世纪60年代后期才真正开始使用。作为一个过渡，kolmogorov（1942）和Prandtl（1945）各自独立提出了用微分方程求解湍能k的单方程模型。2/2/1jiuuk单方程模型的核心思想是:用湍能的均方根值k1/2作为湍流脉动的速度尺度（比混合长度理论中的特征速度υt=ℓm|∂U/∂y|更合理）。它综合反映了空间三维湍流脉动的强度，消除了混合长度理论中μt随平均流速度梯度趋于零的问题。单方程模型—湍能的k方程模型湍能k方程:（湍能=湍流瞬时流的动能-湍流平均流动能）μeff=μ+μt；μt=Cμρk1/2ℓ耗散项的模拟借助于量纲分析，耗散率ε=CDk3/2/ℓ耗散产生扩散-/2/3lkCGxkxxkUtkDjKeffjjj单微分方程模型在一般工程实际中并未得到广泛应用。但就内燃机领域而言，与单方程模型相似的模型在早期曾被大量应用。SGS亚网格尺度代数湍流模型只是单方程模型在准定常状态下的特例。jiijjitijjixUxUxUSuuG4双方程模型—k-ε模型两个湍流特征：特征速度：υt湍能k变化微分方程。k=uii2/2特征长度：ℓ能量耗散率ε的微分方程。ε=CDk3/2/ℓ（1）标准的k-ε模型lkCGxkxxkUtkDjKeffjjj/2/3耗散率ε方程:由N-S方程，根据耗散率的定义，经过大量简化和假设，推导得到（仿照湍能方程）：)(21CGCkxxxUtjeffjjj湍能k方程:（由输运方程得到）1.92C21.3σε0.09Cμ1.441.01C1σkCDμt=Cμρk1/2ℓ2jixu标准的k-ε模型-应用问题标准的k-ε模型是迄今为止在工程上应用最广泛、积累经验也最多的湍流模型，但它并不适用于内燃机缸内湍流的计算。标准k-ε模型推导过程中的假设：（1）忽略了质量力（k方程）（2）为不可压粘性流体（k方程）（3）各向同性等（ε方程）标准k-ε模型的原型是针对二维不可压薄剪切层湍流建立起来的，故其应用范围应基本满足这些前提，如对边界层、射流、尾迹流之类均能得出较满意的结果。但若要用于缸内湍流，则需经过可压、强旋流修正。（2）k-ε模型的压缩性修正针对密度显著变化的影响（可压缩性）——体现在湍能产生上：做法：分别给湍能k方程、耗散率ε方程增添新项，或修正一些系数。DkDSSSSktijijijij3222方程：湍能生成项：对其中D=divU=∂Uk/∂xk为平均流的散度（D=∂Ui/∂xi+∂Uj/∂xj+∂Uk/∂xk）未考虑压缩性项修正项DC3方程：对仿牛顿粘性应力公式不严格由于压缩时，散度D0，压缩前期总的湍流残余动能有所减小，因此，耗散率ε应该增加，因此ε方程的附加项应为正，所以C30.W.C.Reynolds用快速畸变理论：C3=-2(2-C1)/3=-0.373Morel和Mansour在涡流尺度应与流场体积变化保持一致，推出：C3=-2C1/3-(n+1)/n其中n为流体受压的空间维数。对单向压缩，n=1,C3=-1.04k-ε模型的修正KIVA程序中ε方程的附加项为：（C’3-2C1/3）ρεD其中C’3=-1.0，相当于C3=-1.96ElTahry考虑密度脉动，修正ε方程：C3ρεD+C4ρk/ε∂μ/∂t其中：C3=-1/3，C4=1；第二项反映压缩性引起的温度变化对ε的影响Coloman和Mansour进一步推广了上述快速畸变法，推出更精确计算耗散率ε的修正式。C3=[2C1+3dν/dt/(Dν)-4]/3k-ε模型的强旋流修正：旋流所引起的流线曲率和离心力对流体微团会产生附加的应变率，从而使湍流尺度和雷诺应力场都发生变化。修正方法：将ε方程中的常数C1、C2用函数表示。k-ε模型的修正从本质上讲：k-ε方程本身的缺陷使它不具备预测复杂湍流的能力；为了较准确地预测强压缩流、强旋流和流线有大曲率之类的复杂流，应该避免选择k-ε方程。5雷诺应力模型（RSM——ReynoldsStressModel）（DSM——DifferentialStressModel）湍流有各向异性的特点，仅仅用涡粘度不能表达这一特点。解决问题的根本出路是直接建立雷诺应力的输运方程。（1）雷诺应力的输运方程（周培源1940）ijijijijkjikjiGDxuuUtuu根据N-S方程和雷诺方程分别推导瞬态流的平均输运方程和平均流的输运方程，由，将两个输运方程相减整理得到：jiuu~~jiUUjijijiuuUUuu~~雷诺应力的时间变化率雷诺应力的对流项雷诺应力的扩散项雷诺应力的压力应变项雷诺应力的产生项雷诺应力的耗散项（1）雷诺应力的输运方程jikjkiikjkjikijuuxpupuuuuxD雷诺应力的扩散项以散度的形式出现，具有守恒性，不改变雷诺应力总量的大小，只改变分布。雷诺应力的压力应变项ijjiijxuxup代表脉动压力与脉动应变率之间的关联。雷诺应力的产生项kikjkjkiijxUuuxUuuG表现了平均流梯度与雷诺应力间的相互作用。雷诺应力的耗散项kjkiijxuxu2表现了分子粘度对湍流脉动的耗散作用以上4项除Gij之外均含有二阶或三阶相关距，必须引入适当的假设加以模拟之后，才能使雷诺应力输运方程封闭。（2）雷诺应力模型（RSM模型）①雷诺应力的扩散项jikjkiikjkjikijuuxpupuuuuxD分子粘性扩散作用，高雷诺数下可忽略利用Launder提出的“通用梯度扩散