试讲内容之——定积分-文档资料

第五章积分学不定积分定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质机动目录上页下页返回结束定积分的概念及性质第五章一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.?A机动目录上页下页返回结束)(xfy矩形面积梯形面积1xix1ixayo解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi机动目录上页下页返回结束3)近似和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.令则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动目录上页下页返回结束ayo1xix1ixi2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得iiitvs)(),,2,1(ni已知速度机动目录上页下页返回结束n个小段过的路程为3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限机动目录上页下页返回结束abxo二、定积分定义(P277)任一种分法,210bxxxxan任取i总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称f(x)在[a,b]上可积.记作机动目录上页下页返回结束baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分是一个数值，仅与被积函数及积分区间有关,即而与积分变量用什么字母表示无关,baxxfd)(battfd)(bauufd)(机动目录上页下页返回结束利用定积分的定义，我们前面讨论的两个实际问题可以分别表述如下：()baAfxdx21()TTsvtdt定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和机动目录上页下页返回结束o1xyni定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取机动目录上页下页返回结束2xyiiiixxf2)(则32nio1xyniiinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim312xy注注目录上页下页返回结束121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例2.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解:11(1)lim1nniinnnninin11lim1iixxxd110机动目录上页下页返回结束x01ni1ni说明:机动目录上页下页返回结束,],[)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:),,1,0(nixiaxi,banx),,1,0()(niyxfii记baxxfd)(.1xyxyxyn110)(110nnabyyy将[a,b]分成n等份:abxoyix1ix(左矩形公式))(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(.2xyxyxyn21baxxfd)(.3xyyii][211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动目录上页下页返回结束abxoyix1ix公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质(设所列定积分都存在)0d)(aaxxfbaxd.2(k为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.4证:iiinixgf)]()([lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010=右端ab机动目录上页下页返回结束证:当bca时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是],[)(baiixf],[)(caiixf],[)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动目录上页下页返回结束abc当a,b,c的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动目录上页下页返回结束6.若在[a,b]上0)(1iinixf则证:baxxfd)(0)(lim10iinixf推论1.若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束推论2.证:)(xf)(xf)(xf)(baxxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7.设,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba则)(ba机动目录上页下页返回结束8.积分中值定理则至少存在一点使))((d)(abfxxfba证:,,],[)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在],[ba使因此定理成立.性质7目录上页下页返回结束oxbay)(xfy说明:•可把)(d)(fabxxfba故它是有限个数的平均值概念的推广.机动目录上页下页返回结束•积分中值定理对因例4.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为tgv故所求平均速度2211TgT2Tg机动目录上页下页返回结束内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理机动目录上页下页返回结束矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算01xn1n2nn1思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1(0x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx机动目录上页下页返回结束思考:如何用定积分表示下述极限提示:nknnkI1sinlim1n1limsinnnnnnnn)1(sin1lim0dsin1xx极限为0!机动目录上页下页返回结束2.P287题33.P287题4(2),(4)题4(4)解:设,)1ln()(xxxf则xxf111)(]1,0(x,0)(xf]1,0(,0)0()(xfxf0d)(10xxf即xxxxd)1(lnd1010机动目录上页下页返回结束作业P2812(2),4P2862(3),(4);3(3);P2874(1),(5)第二节目录上页下页返回结束