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第五章分式复习数学·北师版（BS）知识归纳第五章|复习字母分子分母不等于零数学·北师版（BS）第五章|复习分母不变公因式2．分式的符号法则根据分式的基本性质可得，据此有分式的符号法则如下：即改变分式、分式的分子和分式的____________的符号中的任何两个，分式的值____________．三、分式的运算1．分式的乘除运算(1)最简分式：一个分式的分子与分母没有___________时，叫做最简分式．(2)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分是把分式化为最简分式或整式．数学·北师版（BS）第五章|复习分母分子被除式分母(3)分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的________，把分母相乘的积作为积的________；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与__________相乘．上述法则用式子表示为2．分式的乘方运算分式的乘方：把分子、分母各自乘方．用式子表示为＝(n为正整数)．3．同分母的分式的加减法运算同分母的分式的加减法法则是________不变，把分子相加减．上述法则用式子表示为数学·北师版（BS）第五章|复习5．分式的加、减、乘、除混合运算顺序法则先进行乘、除运算，再进行________运算．如有括号，先算括号内的．四、分式方程及其解法1．分式方程分母中含有未知数的方程叫做________方程．2．解分式方程的一般步骤(1)在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3)把所得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的________，应舍去．加减分式增根数学·北师版（BS）考点攻略第五章|复习[方法总结]分式值为0的条件是分子等于0，分母不等于0.►考点一分式有(无)意义、值为0的条件例1A数学·北师版（BS）第五章|复习例2[解析]在解答分式有无意义的问题时，不能先将分式约分．如果把分子和分母的公因式约去，会导致分母的取值范围扩大而发生错误．解：由分母x2－x－2≠0得x≠－1且x≠2，所以当x≠－1且x≠2时，原分式有意义．数学·北师版（BS）第五章|复习例3将下列分式约分：►考点二分式的约分与通分数学·北师版（BS）第五章|复习例4计算：数学·北师版（BS）第五章|复习例5►考点三分式的四则运算数学·北师版（BS）第五章|复习[技巧总结]本题是分式的混合运算，既可以先算括号里面的，再算除法，也可以先用乘法分配律进行计算，最后求差。总之，分式混合运算的综合性较强，解题时应遵循运算顺序、法则进行变形。有些题目需要注意其结构特点，选择恰当的方法来解决。数学·北师版（BS）第五章|复习例6►考点四分式的化简、求值数学·北师版（BS）第五章|复习例7►考点五分式方程[技巧总结]去分母时，方程两边同乘最简公分母，不能漏乘常数项。数学·北师版（BS）第五章|复习例8某市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的18，世界人均占有量的132，水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水浪费现象，该市制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量为8立方米，超标部分加价收费．假设不超标部分每立方米水费1.3元，某月住楼房的三口之家张家用水量是住楼房的三口之家李家的56，张家当月水费是16.2元，李家当月水费是22元，请求出该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费多少元？数学·北师版（BS）第五章|复习[方法总结]解分式方程应用题和解一元一次方程应用题找相等关系的方法是相同的，不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的。[解析]此题的信息量较大，在分析时应抓住其主要部分，不受多余信息地干扰．此题的等量关系是张家用水量＝李家用水量×56.关键是将两家的用水量分别表示出来．解：设该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费x元．根据题意，得解这个方程，得x＝2.9，经检验x＝2.9是原方程的根且符合题意．答：该市规定三口之家楼房每月超标部分水每立方米收费2.9元．数学·北师版（BS）第五章|复习[易错提示]检验是解分式方程必不可少的步骤。注意：解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误；而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零。数学·北师版（BS）第五章|复习Ax＝3数学·北师版（BS）第五章|复习解：原方程左右两边都乘x2－x，得x－1＋2x＝2，解得x＝1.检验：当x＝1时，x2－x＝1－1＝0，因此x＝1是原方程的增根．因此原方程无解．数学·北师版（BS）第五章|复习近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格(只需列出方程，不需要求解)．图5－1数学·北师版（BS）第五章|复习甲、乙两人分别从A、B两地到C地，且甲、乙二人均匀速行驶，甲从A地到C地需3小时，乙从B地至C地需2小时40分，已知A、C两地间的距离比B、C两地间的距离远10千米，每行1千米甲比乙少花10分钟．(1)求A、C两地间的距离；(2)假设AC、BC、AB这三条道路均为直的，则求A、B两地之间距离d的取值范围．数学·北师版（BS）第五章|复习解：(1)设甲、乙每分钟的行进速度分别为x千米/分钟，y千米/分钟，依题意，得解得经检验：x＝0.1，y＝0.05是原方程组的解且符合题意．∴A、C两地间的距离＝3×60×0.1＝18(千米)．答：A、C两地间的距离为18千米．(2)B、C两地间的距离为2×60×0.05＋40×0.05＝8(千米)，当A、B、C三点在同一直线时，AB之间的距离最短为18－8＝10(千米)，最长是8＋18＝26(千米)．因此d的取值范围是10≤d≤26.数学·北师版（BS）阶段综合练习D对于一个自然数n，如果能找到自然数a(a＞0)和b(b＞0)，使n－1＝a＋b＋ab，则称n为一个“十字相乘数”，例如4－1＝1＋1＋1×1，则4是一个“十字相乘数”，在1～20这20个自然数中，“十字相乘数”共有________个．11数学·北师版（BS）DA数学·北师版（BS）为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是()B数学·北师版（BS）图YK2－1数学·北师版（BS）某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．数学·北师版（BS）第六章四边形复习（一）数学·北师版（BS）一、平行四边形的概念与性质1．两组对边分别_________的四边形叫做平行四边形．2．平行四边形是_________对称图形，_________________是它的对称中心．3．平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边______________；(2)平行四边形的对角_________，(邻角___________)；(3)平行四边形的对角线_______________．点拨：(1)平行四边形的对边的性质要从位置与数量两个方面考虑；(2)若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线等分平行四边形的面积．知识归纳第六章|复习（一）平行中心两条对角线的交点平行且相等相等互补互相平分数学·北师版（BS）平行二、平行四边形的判定1．从对边看：(1)两组对边分别_________的四边形叫做平行四边形；(2)两组对边分别____________的四边形是平行四边形；(3)一组对边______________的四边形是平行四边形．2．从对角看：两组对角分别________的四边形是平行四边形．3．从对角线看：对角线___________的四边形是平行四边形．相等平行且相等相等互相平分第六章|复习（一）数学·北师版（BS）点拨：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．反例：如图6－1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，这是等腰梯形ABCD，而不是平行四边形；(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．反例：如图6－2，△ABE是等腰三角形，作△DCA≌△EAC，所以∠B＝∠E＝∠D，AB＝AE＝DC，显然，四边形ABCD不是平行四边形．图6－1图6－2第六章|复习（一）数学·北师版（BS）考点攻略A►考点一平行四边形的性质图6－3如图6－3，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论正确的是()A．S▱ABCD＝4S△AOBB．AC＝BDC．AC⊥BDD．平行四边形ABCD是轴对称图形第六章|复习（一）数学·北师版（BS）[解析]A平行四边形两条对角线把它分成的四个三角形中有两对全等三角形，但是这四个三角形的面积都是相等的，因为△AOD与△AOB是等底等高的，A正确；平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等也不一定垂直，所以B、C错误；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，D错误．故选A.[方法总结]解题的关键是理解并掌握平行四边形的性质，即①边的性质；对边平行且相等；②角的性质：对角相等，邻角互补；③对角线的性质：对角线相互平分；④对称性：是中心对称图形，但不是轴对称图形。第六章|复习（一）数学·北师版（BS）例2图6－425°第六章|复习（一）数学·北师版（BS）►考点二平行四边形的判定如图6－5，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是________．图6－5[答案]答案不唯一，如AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°[解析]要判断四边形ABCD是平行四边形，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，只需AB＝CD即可．本题答案不唯一，只要符合条件即可，如AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°或∠C＋∠D＝180°等．第六章|复习（一）数学·北师版（BS）►考点三平行四边形性质与判定的综合例4图6－6如图6－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是()A．2B．3C．4D．5B[解析]B∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC.∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时BC⊥DE.∵AB⊥BC，∴AB∥DE.又∵AE∥BC.∴四边形ABDE是平行四边形．∴ED＝AB＝3.故选B.[方法规律]本题考查了平行四边形的性质与判定及垂线段最短的性质，将原先求一线段最小值转化线段最短是解题关键。第六章|复习（一）数学·北师版（BS）例5如图6－7，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.求证：(1)AE＝CF；(2)四边形EBFD是平行四边形．图6－7证明：(1)(法一)如图6－8①：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.图6－8第六章|复习（一）数学·北师版（BS）[方法指导]本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质。平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法，充分分析题目条件，根据条件和学过的知识挖掘能够得到的结果，然后把所得到的结果充分联系起来即可解决问题。(法二)如图6－8②，连接BD交AC于点O，在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵∠1＝∠2，∠EOD＝∠FOB，∴△DOE≌△BOF，∴OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.(2)(法一)如图①，∵∠1＝∠