高三一轮复习函数的单调性

高三总复习数学(大纲版)第三节函数的单调性高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)考纲要求1.了解函数单调性的概念．2．掌握判断一些简单函数单调性的方法，并能利用函数的单调性解决一些问题．考试热点1.求函数的单调区间或判断函数在某个区间内的单调性．2．给出一个含有字母参数的函数在某个区间内的单调性，求参数的取值范围.高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)1．函数的单调性对于给定区间I上的函数f(x)及属于这个区间I的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，如果都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在给定区间上是增函数，这个区间就叫做这个函数的区间；如果都有f(x1)f(x2)．那么就说f(x)在给定区间上是减函数，这个区间就叫做这个函数的区间．反映在图象上，若函数f(x)是区间I上的增(减)函数，则图象在I上的部分从左到右是上升(下降)的．单调递增单调递减高三总复习数学(大纲版)2．判断函数单调性的常用方法(1)定义法；(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(4)奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上则具有相反的单调性；(5)利用导数的理论去研究．高三总复习数学(大纲版)3．复合函数单调性的判断方法如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么f(g(x))是减函数．注意：(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，因此求函数的单调区间需先求定义域．(2)若要证明f(x)在区间[a，b]上是递增或者递减的就必须证明对区间[a，b]上任意的两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有不等式f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)．若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例即可，即只要找到两个特殊的x1、x2不满足定义即可．高三总复习数学(大纲版)1．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间是()A．(－∞，－3]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1)D．[－1，＋∞)高三总复习数学(大纲版)解析：∵x2＋2x－3≥0，∴x≤－3或x≥1，排除C，D.又x2＋2x－3＝(x＋1)2－4在(－∞－1]上单调递减，∴y＝x2＋2x－3在(－∞，－3]上单调递减．答案：A高三总复习数学(大纲版)2．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]高三总复习数学(大纲版)解析：由f(x)＝－x2＋2ax得对称轴为x＝a，且在[1,2]上是减函数，所以a≤1.又由于g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a0.综合得a的取值范围为(0,1]．答案：D高三总复习数学(大纲版)3．函数f(x)＝ax－1＋logax(a0且a≠1)，在[1,2]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．高三总复习数学(大纲版)解析：函数y＝ax－1和y＝logax在公共定义域内具有相同的单调性，在[1,2]区间上的最值对应着函数的最值，故(a1－1＋loga1)＋(a2－1＋loga2)＝1＋a＋loga2＝a，可得loga2＝－1，求得高三总复习数学(大纲版)4．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间(12，1)上是增函数，求f(2)的取值范围．高三总复习数学(大纲版)解：二次函数f(x)在区间(12，1)上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴x＝a－12或与直线x＝12重合或位于直线x＝12的左侧，于是a－12≤12，解得a≤2，故f(2)＝－2a＋11≥－2×2＋11＝7，即f(2)≥7.高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)[例1]判断函数f(x)＝axx2－1(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．高三总复习数学(大纲版)解法2：对f(x)求导，有f′(x)＝－a(x2＋1)(x2－1)2，因为x∈(－1,1)，所以(x2－1)20，x2＋10，所以当a0时，f′(x)0，f(x)在(－1,1)上单调递增，当a0时，f′(x)0，f(x)在(－1,1)上单调递减．[解]解法1：任取－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝a(x1x2＋1)(x2－x1)(x21－1)(x22－1).因为(x1x2＋1)(x2－x1)(x21－1)(x22－1)0，所以a0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；a0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]运用定义法判定函数的单调性是一种常见方法，解题时应注意：一强调x1、x2在相应区间的任意性；二分析清楚变形后式子的符号；运用导数法判定函数的单调性也是一种常见方法，此方法显得简便些．高三总复习数学(大纲版)若f(x)在区间M上是减函数，且f(x)0，则下列函数在区间M上是增函数的是()A．y＝2f(x)B．y＝12f(x)C．y＝f(x)D．y＝log2f(x)高三总复习数学(大纲版)解析：四个选项中的函数可分别看作是由y＝2u和u＝f(x)、y＝12u和u＝f(x)、y＝u和u＝f(x)、y＝log2u和u＝f(x)复合而成的，根据复合函数的单调性规律可确定函数y＝12f(x)符合题意．答案：B高三总复习数学(大纲版)[例2]设a0，且a≠1，试求函数y＝loga(4＋3x－x2)的单调区间．高三总复习数学(大纲版)上单调递增，在区间32，4上单调递减，所以当0a1时，函数y＝loga(4＋3x－x2)在－1，32上单调递减，在32，4上单调递增，当a1时，函数y＝loga(4＋3x－x2)在－1，32上单调递增，在32，4上单调递减．[解]函数y＝loga(4＋3x－x2)的定义域为(－1,4)，令u＝4＋3x－x2＝－x－322＋254，u＝4＋3x－x2在－1，32高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]要熟练掌握常用初等函数的单调性和复合函数的单调性，一次函数的单调性决定于一次项系数的符号；二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置；指数函数、对数函数的单调性决定于底数的范围(大于1或小于1且大于零)．高三总复习数学(大纲版)求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性．(1)y＝x2－3|x|＋14；(2)y＝13x2－x.高三总复习数学(大纲版)解：(1)∵y＝x－322－2，x≥0，x＋322－2，x0，∴由图象可知，y在－∞，－32及0，32上为减函数，在－32，0及32，＋∞上为增函数．高三总复习数学(大纲版)(2)设t＝x2－x＝x－122－14，∵t＝x－122－14在－∞，12上为减函数，在12，＋∞上为增函数，又y＝13t在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y＝13x2－x的单调递增区间为－∞，12，单调递减区间为12，＋∞.高三总复习数学(大纲版)[例3]若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a0，a≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a的取值范围是()A.14，1B.34，1C.94，＋∞D.1，94高三总复习数学(大纲版)[解]①当a1时，设u＝x3－ax，y＝logau为递增函数，根据复合函数单调性，u在－12，0为增函数且u0，则u′＝3x2－a≥0，即a≤3x2在－12，0恒成立．a≤(3x2)min，即a≤0(舍去)．高三总复习数学(大纲版)②当0a1时，y＝logau为减函数，u在－12，0为减函数且u0，则u′＝3x2－a≤0在－12，0恒成立，即a≥(3x2)max，∴a≥3·－122.∴a≥34，u0，须使umin0，u(0)＝0.∴u在－12，0上恒大于0，∴34≤a1，故选B.[答案]B高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]此题应用了分类讨论的思想，并用求导的方法来讨论其单调性．高三总复习数学(大纲版)已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)高三总复习数学(大纲版)解析：a是对数的底数，所以a0，设g(x)＝2－ax，则g(x)在区间[0,1]上是减函数．设u＝2－ax，由于y＝loga(2－ax)是区间[0,1]上的减函数．所以y＝logau是增函数．故a1.还要使2－ax0在区间[0,1]上总成立，即g(x)0在区间[0,1]上总成立，由于g(x)是减函数，x＝1时g(x)有最小值．只要g(1)0，即2－a0，得a2，∴1a2.答案：B高三总复习数学(大纲版)[例4]已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x1时，f(x)0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(1)；(2)证明f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f(13)＝－1，求满足不等式f(x)－f(1x－2)≥2的x的取值范围．高三总复习数学(大纲版)[分析](1)的求解是容易的；对于(2)，应利用函数单调性的定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．高三总复习数学(大纲版)(1)[解]令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.(2)[证明]令y＝1x，得f(1)＝f(x)＋f(1x)＝0，故f(1x)＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1x1)＝f(x2x1)．由于x2x11，故fx2x10，从而f(x2)f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．高三总复习数学(大纲版)(3)[解]由于f(13)＝－1，而f(13)＝－f(3)，故f(3)＝1.在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.又－f(1x－2)＝f(x－2)，故所给不等式可化为f(x)＋f(x－2)≥f(9)，即f[x(x－2)]≥f(9)．∴x0，x－20，x(x－2)≥9.解得x≥1＋10.∴x的取值范围是[1＋10，＋∞)．高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]抽象函数不等式问题的求解思路是根据函数的单调性脱去符号“f”，转化为关于x的显型不等式．高三总复习数学(大纲版)设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，对于任意的a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有f(a)＋f(b)a＋b0.(1)试比较f－14与f－13的大小；(2)解不等式：fx－12＋fx－140.高三总复习数学(大纲版)解：(1)f(a)＋f(b)a＋b0⇒f(a)＋f(b)0，a＋b0，或f(a)＋f(b)a＋b0⇒1≥a－b≥－1，f(a)－f(b)＝f(－b)，或－1≤a－b≤f(a)－f(b)＝f(－b).∴f(x)在[－1,1]上单调递减，故f－14f－13.高三总复