复数的概念

数系的扩充与复数的概念.数系的扩充过程自然数分数有理数无理数实数①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。负数②③整数①分数②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？知识引入对于一元二次方程没有实数根．012x我们已知知道：12x我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？12i引入一个新数：i满足现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.复数的概念实部复数的代数形式：通常用字母z表示，即biaz),(RbRa虚部其中称为虚数单位。i)(i含虚数单位(3)其中a=0且b≠0时称为纯虚数。注意：(2)当b≠0时，a+bi是虚数，(1)当b=0时，a+bi就是实数，如：1，2.5，-1/2如：i1i232i2ii2i如：1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。72i3i29331i2i12i2、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数实数纯虚数虚数实数纯虚数虚数错误，当b=0时不成立错误，当b=0时不成立正确例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m练习:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数immmZ)1(222复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi特别注意：虚轴不包括原点。复数的一个几何意义yxABCO例2:用复平面内点表示复数(每个小方格的边长是1)：3-2i,3i,-3,0.yxABCDEO例3:说出图中复平面内点所表示的复数(每个小方格的边长是1)6+7i-6-8+6i-3i2-7i如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．例4已知，其中求iyyix)3()12(Ryx,.yx与解：根据复数相等的定义，得方程组)3(112yyx解得4,25yx,,,,Rdcba若dicbiadbca例5若和是共轭复数，求实数的值。共轭复数定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数。即复数a+bi与a-bi互为共轭复数。如ii33与ii5353与yix)1(ix2)13(yx,解：根据共轭复数的定义，得方程组2131yxx解得2,1yx1.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y.4,25yx2.已知x+2y-5+(x-y+1)i=0,求实数x与y的值.21yx练习)3(112yyx01052yxyx3.已知(2x-1)+i与y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y.2,2yxyyx31121.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数dicbiadbca