有理数的乘除(提高)知识讲解

感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无有理数的乘除（提高）责编：康红梅【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12，-2和12是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)ababb.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．计算：(1)54(3)1(0.25)65；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65591936548；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算：（2014秋•埇桥区校级期中）25×﹣（﹣25）×+25×．【答案与解析】解：25×﹣（﹣25）×+25×，=25×+25×+25×，=25×（++），=25×，感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无=．【总结升华】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法分配律并灵活运用是解题的关键．举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)2215130.34(13)0.343737；(2)3.1435.26.28(23.3)1.5736.4．【答案】（1）原式2125(13)(13)0.340.3433772125(13)0.343377(13)10.34(1)130.3413.34．(2)3.1435.26.28(23.3)1.5736.4＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．类型二、有理数的除法运算3．计算：17(49)2(3)33【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．【答案与解析】解：17(49)2(3)33331(49)773331493773【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．举一反三：【高清课堂：有理数乘除381226有理数除法例1（3）】【变式】计算：111(3)(2)(1)335【答案】原式103525()()()37621感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无类型三、有理数的乘除混合运算4.计算：9481(16)49【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．举一反三：【变式】计算：14410(2)893【答案】14410(2)893194181941243108432843216类型四、有理数的加减乘除混合运算5.计算：121123031065【答案与解析】方法1：12112303106512035121303010方法2：2112131065302112(30)1031065所以121121303106510【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c)＝a÷b+a÷c进行分配就错了．举一反三：【变式】（2014•沐川县二模）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么计算：=．【答案】解：==．感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无类型五、含绝对值的化简6.已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出||||||abcabc的值吗?【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a、b、c三个数都为正数时，||||||1113abcabcabcabc；(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，||||||1111abcabcabcabc；(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，||||||1111abcabcabcabc；(4)当a、b、c三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3abcabcabcabc综上，||||||abcabc的值为：3,3,1,1【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.举一反三：【高清课堂：有理数乘除381226有理数除法例2】【变式】计算abab的取值.【答案】(1)当a＞0、b＞0时，112abab原式；(2)当a＜0、b＜0时，112abab原式；(3)当a＞0，b＜0时，110abab原式；(4)当a＜0，b＞0时，110abab原式．综上，abab的值为：2,2,0