用字母表示数及整式(基础)知识讲解

感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无用字母表示数及整式（基础）知识讲解责编:康红梅【学习目标】1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；2.能按要求列出代数式，会求代数式的值；3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系．【要点梳理】要点一、字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba．要点二、代数式1.代数式的定义：诸如：16n，2a+3b，34，2n，2)(ba等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：带等号或不等号的式子不是代数式，如33x，33x，33x等都不是代数式．2.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．要点三、整式1.单项式（1）单项式的定义：如22xy，13mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．要点诠释：①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114xy写成254xy．（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．2．多项式(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．要点诠释：①多项式的每一项包括它前面的符号．②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627xx是一个三项式．(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．要点诠释：①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．如:多项式2x3y2-xy3+21x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+21x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+21x2y4．要点诠释：①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．3.整式：单项式与多项式统称为整式．要点诠释：（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．【典型例题】类型一、字母表示数1．填空：（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是；（2）一个正方形的边长是acm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长是；（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达________元．【思路点拨】（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可；（2）正方形的周长等于边长的4倍；（3）注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言．【答案】（1）-a；（2）（4a+4)cm（或4（a+1）cm）；（3）(2n+500).【解析】感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无解：（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是﹣a；（2）这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的边长为(a+1)cm，所以周长为4（a+1）cm，也即（4a+4)cm；（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达(2n+500)元．【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.类型二、代数式2．有一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字大5，用代数式表示这个两位数，并求当a＝3时，这个两位数是多少？【思路点拨】若十位上的数字为a，个位上的数字为b，则该两位数可表示为：10a+b.【答案与解析】解：（1）代数式表示这个两位数是10a＋（a＋5）.（2）把a＝3代入代数式10a＋（a＋5），得：10×3＋（3＋5）＝38.因此这个两位数是38.【总结升华】一些实际问题中的等量关系要熟记.举一反三：【变式1】（1）x的平方的3倍与5的差，用代数式表示为.(2)操作电脑时，甲4小时打x个字，乙3小时打y个字，甲乙两人每小时共打个字．【答案】（1）235x（2）（43xy）【变式2】（2015•吉林）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（）A．（a+b）元B．3（a+b）元C．（3a+b）元D．（a+3b）元【答案】D．类型三、整式3．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．234ab，a，442x，amn，223ay，a-3，5-3，82-310tm，2xy【答案与解析】解：234ab，a，442x，223ay，5-3，82-310tm，2xy是单项式，其中234ab的系数是34，次数是3；a的系数是-1，次数是1；442x的系数是42，次数是4；感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无223ay的系数是3，次数是4；53为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；82-310tm的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；2xy只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如442x中，42的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．举一反三：【变式1】（柳州）单项式3x2y3的系数是．【答案】3．【变式2】（泰州）下列结论正确的是()．A．没有加减运算的代数式叫做单项式．B．单项式237xy的系数是3，次数是2．C．单项式m既没有系数，也没有次数．D．单项式2xyz的系数是-1，次数是4．【答案】D4.（2015秋•三亚期末）说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1（2）10x+y3﹣0.5．【答案与解析】解：（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1是四次六项式，最高次项是﹣3x3y，最高次项的系数是﹣3，常数项是1；（2）10x+y3﹣0.5，是三次三项式，最高次项是y3，最高次项的系数是1，常数项是﹣0.5．【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．举一反三：【变式】下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无325x,43ab,2xy，abc，12，232ab，a+1，23ab，2321xx，3x．【答案】解：多项式有：43ab，232ab，a+1，23ab，2321xx．其中，43ab是一次二项式；232ab是二次二项式；a+1是一次二项式；23ab是一次二项式；2321xx是二次三项式．