椭圆的参数方程课件

椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是．(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为x－h2a2＋y－k2b2＝1，则其参数方程为(φ是参数)．x＝acosφy＝bsinφ[0,2π)x＝h＋acosφy＝k＋bsinφ[例1]已知实数x，y满足x225＋y216＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．[思路点拨]将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．[解]椭圆x225＋y216＝1的参数方程为x＝5cosφ，y＝4sinφ(φ为参数)．代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tanφ0＝85)．所以目标函数zmin＝－89，zmax＝89.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆x225＋y216＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．解：椭圆的参数方程为x＝5cosθy＝4sinθ(θ为参数)．设P(5cosθ，4sinθ)，则|PA|＝5cosθ－32＋4sinθ2＝9cos2θ－30cosθ＋25＝3cosθ－52＝|3cosθ－5|≤8，当cosθ＝－1时，|PA|最大．此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5,0)．2．椭圆x29＋y24＝1上一动点P(x，y)与定点A(a,0)(0＜a＜3)之间的距离的最小值为1，求a的值．解：设动点P(3cosθ，2sinθ)，则|PA|2＝(3cosθ－a)2＋4sin2θ＝5(cosθ－35a)2－45a2＋4.∵0＜a＜3，∴0＜35a＜95.于是若0＜35a≤1，则当cosθ＝35a时，|PA|min＝－45a2＋4＝1，得a＝152(舍去)；若1＜35a＜95，则当cosθ＝1时，由|PA|min＝a2－6a＋9＝1，得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的a值为2.[例2]已知A，B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[思路点拨]由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．[解]由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得x＝6＋0＋6cosθ3，y＝0＋3＋3sinθ3，即x＝2＋2cosθ，y＝1＋sinθ.消去参数θ得到x－224＋(y－1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．3．已知椭圆方程是x216＋y29＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．解：设P(4cosθ，3sinθ)，Q(x，y)，则有x＝4cosθ＋62，y＝3sinθ＋62，即x＝2cosθ＋3，y＝32sinθ＋3.(θ为参数)∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求．4．设F1、F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A(1，32)到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A(1，32)在椭圆上，因此14＋322b2＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，3sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝2cosθ－12，y＝3sinθ＋02，所以x＋12＝cosθ，2y3＝sinθ.消去θ，得(x＋12)2＋4y23＝1.即为线段F1P中点的轨迹方程.[例3]已知椭圆x24＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．[思路点拨]利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P、Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·|OQ|的值．[证明]设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．则MB1的方程：y＋1＝sinφ＋12cosφ·x，令y＝0，则x＝2cosφsinφ＋1，即|OP|＝2cosφ1＋sinφ.MB2的方程：y－1＝sinφ－12cosφx，令y＝0，则x＝2cosφ1－sinφ.∴|OQ|＝2cosφ1－sinφ.∴|OP|·|OQ|＝2cosφ1＋sinφ×2cosφ1－sinφ＝4.即|OP|·|OQ|＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．5．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆x＝2cosθy＝4sinθ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．解析：将(2cosθ，4sinθ)代入y＝x＋b得：4sinθ＝2cosθ＋b∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f(θ)＝4sinθ－2cosθ＝25sin(θ－φ)．∴－25≤f(θ)≤25.∴－25≤b≤25.答案：[－25，25]6．曲线x＝acosθ，y＝bsinθ(a＞b＞0)上一点M与两焦点F1、F2所成角为∠F1MF2＝α.求证：△F1MF2的面积为b2tanα2.证明：∵M在椭圆上，∴由椭圆的定义，得：|MF1|＋|MF2|＝2a，两边平方，得|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2.在△F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cosα＝|F1F2|2＝4c2.由两式，得|MF1||MF2|＝b2cos2α2.故S△F1MF2＝12|MF1||MF2|sinα＝b2tanα2.