元函数的偏导数

课时教案授课章节及题目偏导数与全微分（1）授课时间周二第3、4节课次1学时2教学目标与要求1、了解二元函数偏导数的定义2、掌握求二元函数偏导数的方法教学重点与难点教学重点：二元函数偏导数的求法教学难点：二元函数偏导数的定义教学用具无教学过程环节、时间授课内容教学方法课程导入（5分钟）复习一元函数的导数定义、导数与连续的关系讲解、提问新课讲解（35分钟）新课讲解（35分钟）新课讲解（35分钟）一、二元函数偏导数的定义定义1：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，当y固定在y0，而x0有增量x时，相应的函数有增量（此时称为二元函数z=f(x,y)对x的偏增量，记为xz），即)(),(0000yxfyxxfzx，若极限xyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于x0的偏导数，记作0000|,|'xxyyxxxyyzxz或.同样可以讲解讲解讲解、启发2/5定义z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于y0的导数值.如果z=f(x,y)在某个邻域内对每一个点x都存在偏导数，则这两个偏导数本身也是关于x，y的二元函数，所以称它们为偏导函数，简称为偏导数.记为zx/,xz二、偏导数的求法从偏导数的定义可以知道，求z对x的偏导数的时候可以把变量y认为是常数，从而可以利用一元函数求导法则和求导公式进行求导；同样，在z对y求偏导数的时候可以把x认为是常数进行求导.三、例题讲解：1.求函数z=x3-2xy+5y2在点（1，2）处的偏导数分析：此题有多种解法，我们首先可以把z对x、y的偏导数算出来，然后再代值；或：对x求偏导时把y的值代入然后再对x求导，同样的方法可以求出y的偏导数.（在黑板上详细写出本题的解题过程）2.)4,0(),4,0(),2sin(),(''yxxffyxeyxf求设分析：本题和上题是类似的题型，可以上学生自我考虑然后回答本问题.3.yzxxxzy,z),0(求设分析：在本题中，实际上考查的是偏导数函数的算法.在本题中，一定要注意对x,y求偏导时我们可以寻找不同的函数类型，从而可以利用一元函数的求导法则来求相应的偏导数.（书写详细的解题过程）4.yzxy,z,xyz22求设分析：本题实质和上题是类似的，实际上在求偏导数的时候我们可以把相应的某个变量看成是常数就可以了，然后利用一元函数的求导法则即可.（书写详细的解题过程）3/55.zuyuxuzyxu,,),ln(222求设三元函数分析：本题是一个三元函数的偏导数问题，在此题中我们的解题思路和上面是一样的，例如在求对x的偏导数时候，我们可以把y，z看成是常量，从而可以利用一元函数的求导法则来相应的三元函数的偏导数问题.)0,0(),0,0(,),(.6''0,0,02222yxyxyxxyyxffyxf求设分析：本题和以上各题不一样之处在于f(x,y)是二元分段函数求在原点处的偏导数，此种题型的一般方法是利用定义来求，所以，在本题的讲解中要贯彻二元函数的导数的定义，所以要求学生务必对二元函数在某点的导数定义要比较熟悉.（在黑板上书写详细的解题过程）四、高阶导数二元函数z=f(x,y)的两个偏导数),(),(''yxfyxfyx和一般仍然是x，y的二元函数，若这两个函数对x，y的偏导数仍然存在，则称为这些偏导数为z=f(x,y)的二阶偏导数，按照对变量求导次序不同，二阶偏导数有如下几种形式：),()();,()(''''2''''22yxfzyxzxzyyxfzxzxzxxyxyxxxx),()(),,()(''''22''''2yxfzyzyzyyxfzxyzyzxyyyyyxyx在上述公式中要注意),(''yxfxy是先对x求偏导数然后再对y求偏导数，而),(''yxfyx是先对y求偏导数然后再对x求偏导数.它们正好相反，它们包4/5环节、时间授课内容教学方法新课讲解（35分钟）含着对不同自变量的偏导数，所以称这两者是二阶混合偏导数.类似的我们可以定义更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数我们称为是高阶偏导数.五、例题讲解：1.求函数z=x3+3x3y+y4+5的二阶偏导数分析：在前面所介绍的一阶偏导数的基础之上，我们可以很容易的求出此题的二阶偏导数2.求z=sin2(ax+by)的二阶偏导数分析：此题和上述题型类似，此时和学生互动求解该题，并书写详细的解题过程3.0)(z)ln(222222yxzyzxeezyx满足方程证明分析：本题虽为证明题，其实质上还是关于二元函数高阶偏导数的计算问题，由于涉及的计算量比较大，所以提醒学生一定要注意计算的准确性，同时，在本题中，计算对x，y的偏导数的时候我们可以发现两个二阶混合偏导数是相同的，在此可以向学生解释为什么会出现这个情况，就是因为二元函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数如果连续的话，则这两个混合偏导数肯定相等（在此只要向学生简单介绍一下此定理就可以了，同时提醒学生在以后的一般情况下，这两个值应该是相等的）六、学生课堂训练:具体题目见P1401(3)(5)3(1)(2)讲解、启发、引导课后小结课后作业（5分钟）本次课主要讲解了二元函数的一阶偏导数和二阶偏导数，其中最重要的是这两个偏导数的计算作业：P1401(2)、（4）、(6)（7）3(3)、(4)5/5教学反思板书设计课程导入：复习一元函数的导数定义、导数与连续的关系新课讲解一、二元函数偏导数的定义二、偏导数的求法三、例题讲解：四、高阶导数五、例题讲解：六、学生训练课后小结及课后作业