幂级数函数的幂级数展开法

第六章无穷级数§6.3幂级数本节内容一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、Taylor级数及其应用§6.3幂级数一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有0x称为其收0x称为其发散点,),2,1()(nxun发散点的全体称为其发散域.§6.3幂级数为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它§6.3幂级数例如,等比级数它的收敛域是,1[]1,(），及它的发散域是或写作.1x有和函数§6.3幂级数二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数1,110xxxnn为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称§6.3幂级数ox发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数0nnnxa则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M0,使§6.3幂级数当时,0xx收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当0xx时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0x满足不等式0xx所以若当0xx满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00证毕§6.3幂级数幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,0nnnxa中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,,0R幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.Rx外发散;在(－R,R)称为收敛区间.ox发散发散收敛收敛发散§6.3幂级数xaaxaxannnnnnnn111limlim定理2.若的系数满足;1R;R.0R证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.即1x时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则1x§6.3幂级数2)若,0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)若,则对除x=0以外的一切x原级发散,.0R对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R§6.3幂级数对端点x=－1,1limnnnaaR的收敛半径及收敛域.解:11nn1对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散..]1,1(故收敛域为例1.求幂级数limn§6.3幂级数例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)limlim1nnnnaaR!1n所以收敛域为.),((2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n0所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1!)1(1n§6.3幂级数例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径.1()lim()nnnuxux2112x当时级数收敛时级数发散故收敛半径为2.R故直接由2122212lim212nnnnnnxnx212x2112x当§6.3幂级数例4.的收敛域.解:令级数变为nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12当t=2时,级数为此级数发散;§6.3幂级数当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为即.31x§6.3幂级数幂级数及其和函数的基本性质定理3.设幂级数及的收敛半径分别为,,21RR令)(0为常数nnnxa1Rx,,min21RRRnnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx,0nnnxcRx则有:nnnnnnxbxa00§6.3幂级数定理4若幂级数的收敛半径nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.§6.3幂级数解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则11!)1()(nnnxxS)(xS故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS得由故得的和函数.因此得设§6.3幂级数例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发1)(nnxxxxx11nnxx散,§6.3幂级数例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,01)(nnnxxSxnnxxx00d1xxxx0d111)10(x及收敛,0111nnnxx§6.3幂级数)1,0()0,1[x)(xS因此由和函数的连续性得:)(xS而,1)1(lnlim0xxx,)1ln(1xx,10x)10(x及§6.3幂级数三、泰勒(Taylor)级数及其应用)()(0xfxf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:§6.3幂级数)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,§6.3幂级数定理5.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理6.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.§6.3幂级数函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内)(limxRnn是否为0骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开§6.3幂级数例8.将函数展开成x的幂级数.解:,)()(xnexf),,1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足e!)1(n1nxxe故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n!)1(1nnx2!21x3!31xnxn!1故得级数§6.3幂级数例9.将展开成x的幂级数.解:)()(xfn)0()(nf得级数:x其收敛半径为,R对任何有限数x,其余项满足))1(sin(2n!)1(n1nx12kn),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(11)1(nnnxxsinnkn2,)1(k,012!)12(115!513!31)1(nnnxxxx§6.3幂级数nnxnxxx2142!)2(1)1(!41!211cos类似可推出:12153!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx§6.3幂级数例10.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出,1)0(f,)0(mf,)1()0(mmf,)1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得级数mx12!2)1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!)1()1(级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,§6.3幂级数2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1(称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.§6.3幂级数对应11,,122m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111x24231x3642531x)11(x486427531xx21111x2x3x)11(xnnx)1(x)11(1112xxxxxn§6.3幂级数2.间接展开法x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例11.将函数展开成x的幂级数.解:因为nnxxx)1(12)11(x把x换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成幂级数.§6.3幂级数例12.将函数展开成x的幂级数.解:xxf11)()11()1(0xxnnn从0到x积分,得xxxxnnnd)1()1ln(00,1)1(01nnnxn定义且连续,区间为11x11x上式右端的幂级数在x＝1收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛§6.3幂级数例13.将展成解:)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx32)4(!31)4(!21)4(121xxx的幂级数.)4(x3)4(!31x5)4(!51x§6.3幂级数例14.将展成x－1的幂级数.解:)3)(1(13412xxxx21x21x222)1(xnnnx2)1()1(81nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x41x1§6.3幂级数内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求.§6.3幂级数2.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开3.常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1(lnxx]1,1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11)1(nnxn式的函数.§6.3幂级数!)12()1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(当m=–1时x1