高中数学-抛物线的一个重要模型(模型解题法)

1DOyAFBClx【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于AB、两点，则称线段AB为抛物线的焦点弦。过抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB的端点,AB分别抛物线准线l的垂线，交l于DC、，构成直角梯形ABCD（图1）.这个图形是抛物线问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时，它又体现了解析几何的重要思想方法。在图1中，有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪些重要结论呢?【模型示例】设直线AB的倾角为，当=90ABx轴（）时，称弦AB为通径。例1.求通径长.例2．求焦点弦AB长.例3.求AOB的面积.例4.连,(2)CFDFCFDF，求证图.例5.设准线l与x轴交于点E，求证：FE是CE与DE的比例中项，即2FECEDE.例6.如图3，直线AO交准线于C，求证：直线xBC//轴.（多种课本中的题目）例7．设抛物线)0(22ppxy的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于BA,两点.点C在抛物线的准线上，且xBC//轴.证明直线AC经过原点.例8.证明：梯形中位线MN长为2sinp.例9.连,ANBNANBN、图（5），证明：.例10.求证：以线段AB为直径的圆与准线相切.例11.连NF，证明：NF⊥AB，且2NFAFBF.例12.已知抛物线yx42的焦点为F，AB是抛物线的焦点弦，过A、B两点图11分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I）证明：点M在抛物线的准线上；（Ⅱ）求证：FM→·AB→为定值；【模型解析】设直线AB的倾角为，当=90ABx轴（）时，称弦AB为通径。例1求通径长.解：由于=90ABx轴（），)0,2(pF，当2px时，代入)0(22ppxy中，得22,.ByppypA，故y2ABp.例2求焦点弦AB长.解法一：设),(),,(2211yxByxA，当90ABp时，设直线的方程为:y=k(x-).2由22,()2ypxpykx得22222(2)04pkkxpkx，......①1222(1)xxpk.......②=ABAFBFADBC，准线方程2px，1212()22ppABxxxxp.由②知，222.pABpk......③当90，由（一）知2ABp.说明：tank2222222211cossincos1111.tansinsinsinkOFMBAyx1因此，由③得22122(1).sinpABpk特别，当902,ABp时，上式为是通径长。解法二：设),(),,(2211yxByxA.902;ABp时，上式为90AB时，设直线的方程为11()2tanpxmymk其中.由22,2ypxpxmy得2220.ypmyp122,yypm212.yyp......④2221212()()ABxxyy221212()()22ppmymyyy2221212()()myyyy2212(1)()myy221212(1)[()4]myyyy......⑤2222(1)(44)mpmp（由④得）222=4(1),pm22(1).ABpm222221cos1111tansinsinm......⑥22=sinpAB.【重要说明】（Ⅰ）关于直线方程的设定，上面用了两种形式，各有优劣。对于抛物线22(0)ypxp，多用2pxmy，对于抛物线22(0)xpyp，多用1DOEyAFBClxpy=k(x-).2（Ⅱ）上面的解法体现了解决抛物线问题乃至解析几何问题的基本思想方法，要多多玩味。其中22121211ABkxxmyy的多步变形，要熟练掌握，其结果可以作为公式使用。（Ⅲ）如果给出22(0)xpyp，其焦点弦长的求法类似上面的解法，但要特别的注意，为直线ABy与轴的夹角。总之，抛物线焦点弦长结论中，为直线AB与抛物线对称轴的夹角。此外，上述两种解法中，还得出了两个重要结论：12xx与12yy均为定值：12xx24p（由①得），12yy2p，以及122.yypm【探究】抛物线的焦点弦为AB，设),(),,(2211yxByxA，则有12yy2p，此命题的逆命题是否成立？为什么？例3求AOB的面积.解法一：直线AB的方程为：2pxmy，即02pxmy.2sin21pmp2原点O到它的距离h=（由⑥得）,22112sin.22sin22sinAOBpppSABh解法二：AOBAOFBOFSSS12122121211()221()22()44OFyOFypyypyyyy222444ppmp（由④得）122p=12m2p12sin（由⑥得）=.2sin2p例4连,(2)CFDFCFDF，证明：图.证明：设),(),,(2211yxByxA，则21(,),(,)22ppCyDy,2112200.()()2222CFDFyyyyKKppppp212,yyp1,CFDFKK故CFDF.例5设准线l与x轴交于点E，证明：FE是CE与DE的比例中项，即2FECEDE.容易证明，留给读者完成。例6如图3，直线AO交准线于C，证明：直线xBC//轴.（多种课本中的题目）分析：只要证CD、两点纵坐标相同。证明：设),(),,(2211yxByxA，则221pyy.211112111022,,02OAyypypxkyxyp12,pACyxy直线的方程为它与准线方程2px联立,得DOEyAFBClx图2图3121cpCyy点纵坐标.由221pyy得1221cyyyyy.因此CD、两点纵坐标相同，xBC//轴.例7设抛物线)0(22ppxy的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于BA,两点.点C在抛物线的准线上，且xBC//轴.证明：直线AC经过原点.分析：只要证OCOAkk.证法1：如图3，设),(),,(2211yxByxA，再设直线AB的方程为2pmyx.221pyy，2112ypx，,222221111211111121212OAOCkxyyxyyxpxyppyppyyypyk,,AOC三点共线.证法2：如图4，设AC与EF相交于N，准线与x轴交于E.//ADx轴//BC.,CENCDA.ANFACB,ABBFACCNADEN（即ADBFENAB），ABAFBCNF（即AFBCNFAB）.又,,BCBFADAF,ENNF即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线经过原点O.图3图4ED1【专家点评】2001年试题评价报告（高考专家组）指出：理科（19）题（即上题）是课本习题八第8题（系指221pyy），第13题（系指（六））的转化，揭示了抛物线的一个本质属性：“若抛物线pxy22的焦点为F，BA,是抛物线上的两点.点C在它的准线上，且xBC//轴.则COA,,三点共线的充要条件是BFA,,共线。【探究】上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线)0(22ppxy及图3）：①弦AB过焦点F；②点C在准线上；③xBC//轴；④AC过顶点O.可组成以下四个命题：.A①②③④（高考题）.B①②④③（课本题）①②③④D.②①③④C.是否正确？例8证明：梯形中位线MN长为2sinp.留给读者做。例9连(ANBNANBN、图5），证明：.证明较难，留作习题。例10证明：以线段AB为直径的圆与准线相切。由例9，这个性质是显然成立的。例11连NF，证明：NF⊥AB，且2NFAFBF.证明：设),(),,(2211yxByxA，又设直线AB的方程为2pmyx，则12(,)22yypN，1212+0+22-22--22NFyyyypmkpppp（）m（由④得）图3x_OMDNEDACFBy2px图511,ABkm1,NFABkk此即.NFAB在RtANBNF中，为斜边上的高，故有2.NFAFBF说明：在平面几何中，有下述定理：RtABC中，斜边BC上的高AD是BDCD与的比例中项。例12已知抛物线yx42的焦点为F，AB是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I）证明：点M在抛物线的准线上；（Ⅱ）求证：FM→·AB→为定值；证明：（I）设),(),,(2211yxByxA，则221212,,44xxyy由已知，(0,1),F设直线AB的方程为：1ykx，则由214ykxxy得2440,xkx.421xx由241xy得xy21，所以过BA,两点的切线方程分别为：,4)(21,4)(2122222111xxxxyxxxxy即.421,421222211xxxyxxxy【注：pyx22过点(),00yx的切线方程为：)(00yypxx】由上式可得2212122().xxxxx显然12,xx故121211211,1.22244xxxxxxxxyx因此，)1,2(21xxM.由于抛物线准线方程为1y，故点M在抛物线的准线上。OFMBAyx图61222222122112212111(,2)(,)0.24422xxxxxxFMABxxxx因此，FM→·AB→为定值，其值为0.【推广】过抛物线)0(22ppxy的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过A、B两点的切线交于点M，则点M在抛物线的准线上，且ABFM【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的内容，可以获得多达十多条的重要结论，它涉及抛物线的定义与基本性质，在解决各类问题时，又贯穿着解析几何的基本思想方法，其中尤以求抛物线弦长时的两种方法集中体现了解决抛物线问题的基本思路与常用方法，应予以牢固把握。上面十多条结果归纳起来有：（1）焦点弦长（通径长）；（2）AOB的面积；（3）梯形中位线长；（4）221pyy；（5）AOBAFB，，三点共线，，三点共线；（6）两组直角三角形：RtANBABNF（斜边上的高为），RtCFDFE（斜边CD上的高），以及相应的比例线段；（7）,MNAMBNAB以为直径的圆与准线相切；（8）过抛物线上AB，两点的切线的交点G落在准线上，且.GFAB习题1.（高考题）过抛物线)0(22ppxy的焦点F作倾斜角为45的直线，交抛物线于A、B两点，若AB的长为8，则p=.分析：由例2知，22224.sinsin45ppABp由已知4p=8,故p=2.2.抛物线22(0)xpyp线的焦点为F,其焦点弦为AB,直线AB与y轴的夹角为，则AB=.x=-p2yxOMNFEDCBA图71分析：仿例2可得：AB=2222cossinpp.3.已知直线32yx与抛物线28xy交于M、N两点，O为坐标原点，求弦MN的长及MON的面积。解：(0,2)F在直线上，MN为焦点弦，且倾角为60，故30.2232,16.sinMONpMNS4.（高考题）过抛物线2(0)yaxa焦点F作一直线交抛物线于PQ、两点，若线段PF与QF的长分别为p，q，则11pq等于.2Aa1.2Ba.4Ca1.4Da解1（解析法）：较繁，略。解2（向量法）：设1122(,),(,)PxyQxy，由1(0,)4Fa及定义可知：11,4ypa21.4yqa因为F分PQ的定比为,pq故11()14441pp