第五章-二次曲线的一般理论

第五章二次曲线的一般理论主要内容•⑴二次曲线与直线的相关位置•⑵二次曲线的渐近方向、中心、渐近线•⑶二次曲线的切线•⑷二次曲线的直径•⑸二次曲线的主直径与主方向•⑹二次曲线方程的化简与分类•⑺用不变量化简二次曲线的方程教学目的：⑴了解复平面的特征；⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主方向和主直径概念及求法；⑶弄清移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律，以及这两种坐标变换在化简二次曲线方程中所起的作用；⑷能判别二元二次方程所表示的曲线的类型，熟练地化简二次曲线方程，并写出相应变换关系式，作出其图形。教学重点：⑴二次曲线由渐近方向、中心、标准方程得出的不同分类方法；⑵二次曲线方程的化简、分类与作图。教学难点：移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简二次曲线方程中所起的作用。第五章教学要求§5.1二次曲线与直线的相关位置教学目标：⑴了解复平面的特征；⑵熟记二次曲线方程中的有关记号；⑶掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。教学重点：二次曲线方程中的有关记号及二次曲线与直线的相关位置。教学难点：二次曲线与直线位置的判别方法。二次曲线的一般理论前言在平面上，由二元二次方程022233231322212211ayaxayaxyaxa所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。一平面上的复元素设在平面上建立了一个直角坐标系},;{jiO，今将平面上点的概念扩充如下：任意一对有序复数（x,y）都是平面上一点P的坐标，若x,y全为实数，则称P为实点，否则称P为虚点，实点和虚点统称为复点。点的概念扩充以后，原来的实平面即变为复平面。今在复平面上引入下列复元素⑴复向量：以1P(1x,1y)为始点,2P(2x,2y)为终点的复向量定义为:21PP=jyyixx)()(1212，其中2x-1x，2y-1y称为它的分量，记作1P2P{2x-1x，2y-1y}，分量不全为实数的向量称为虚向量，否则称为实向量；若二向量的对应分量成比例，则称这二向量是平行的。⑵复直线：在直角系下,一次方程ax+by+c=0(a,b为复数)所表示的图形,称为复直线;若a,b,c与三实数对应成比例,则称其为实直线,否则称其为虚直线。注意:实直线可以有虚点。注：实直线上有无穷多个复点，但虚直线上只有一个实点。⑶定比分点：设有1M(1x，1y),2M(2x，2y),若点M（x,y）的坐标满点121xxx,121yyy)1(,则称M为线段21MM的定比分点,λ-定比,特别地,21MM的中点为(2,22121yyxx)。⑷共轭复元素：若1x与2x，1y与2y分别为共轭复数，则称P（1x,1y）与P（2x，2y）为一对共轭复点。显然实点与其自身共轭；二共轭复点连接线段的中点为实点。若二直线il：iax+iby+ic=0，i=1，2满足1a与2a共轭，1b与2b共轭，1c与2c共轭，则称1l与2l是一对共轭复直线，若二向量的对应分量为共轭复数，则称这二向量为共轭复向量。三为了方便起见，特引进一些记号：33231322212211222),(ayaxayaxyaxayxF1312111),(ayaxayxF2322122),(ayaxayxF3323133),(ayaxayxF222122112),(yaxyaxayx注：在复平面上无法推广实平面上的距离公式，这是因为，在实平面上d²=（2x-1x）²+（2y-1y）²而在复平面上，公式右端为一复数，其平方根有两个地位均等的值，无法确定其中一个为二点间的距离。22111aaI221212112aaaaI3323132322121312113aaaaaaaaaI33232322331313111aaaaaaaaK332313232212131211aaaaaaaaaA22121211*aaaaA二次曲线与直线的相关位置33231322212211222),(ayaxayaxyaxayxF讨论二次曲线与直线YtyyXtxx00的交点，可以采用把直线方程⑵代入曲线方程⑴然后讨论关于t的方程。…⑴…………………………⑵⑶0)222(})(){(2)2(330230132022001220112302201213012011222212211ayaxayayxaxatYayaxaXayaxatYaXYaXa对⑶或⑷可分以下几种情况来讨论：⑷0),(),(),(2),(000020012yxFtYyxFXyxFtYX的两个不同的实交点。与二次曲线得直线，代入与有两个不等的实根方程)1()2()2()4(.0121tt点。有两个相互重合的实交与二次曲线直线与有两个相等的实根方程)1()2(,)4(.0221tt的虚点。二次曲线交于两个共轭与直线有两个共轭的虚根方程)2(,)4(.03),(),(),(),(,)4(0),(.1002002001yxFYXYyxFXyxFtYX的二次方程是关于此时。⑷0),(]),(),([2),(000020012yxFtYyxFXyxFtYX⑵tYyytXxx00⑴33231322212211222),(ayaxayaxyaxayxF：，这时又可分三种情况0),(.2YX实交点。有唯一与二次曲线直线的一次方程关于是此时。)1()2(,)4(0),(),(1002001tYyxFXyxF无交点。与二次曲线直线是矛盾方程。而。)1()2(,)4(0),(0),(),(200002001yxFYyxFXyxF上。全部在二次曲线直线是恒等式此时)1()2(,)4(.0),(),(),(300002001yxFYyxFXyxF⑷0),(]),(),([2),(000020012yxFtYyxFXyxFtYX⑵tYyytXxx00⑴33231322212211222),(ayaxayaxyaxayxF21212),(1yxyxF121),(,2yxyxF122),(22yxyxyxyxF01yxtytx11:1:YX),(,00yx0)1,1(23)0,1(),(,1001FyxF23)0,1(),(2002FyxF0)0,1(,F解:将直线化为参数形式得:为(1,0),所以直线在二次曲线上，即直线上所有点均为交点。01yx012222yxyxyx例求直线与二次曲线的交点。因为:§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线教学目标：⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。教学重点：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。教学难点：根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地⑴当0222112112aaaaI时，曲线有二共轭复渐近方向；⑵当02I时，曲线有二不同实渐近方向；⑶当02I时，曲线有二相同实渐近方向。事实上，YX:为渐近方向0),(YX0222212211YaXYaXa命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地⑴当0222112112aaaaI时，曲线有二共轭复渐近方向；⑵当02I时，曲线有二不同实渐近方向；⑶当02I时，曲线有二相同实渐近方向。事实上，YX:为渐近方向0),(YX0222212211YaXYaXa)0(02)(112212211aaYXaYXa)0(:)(:1111212aaIaYX0222212211YaXYaXa)0(02)(221112222aaXYaXYa或)0,0,0(012121112aaaXYa或)0(:)(:2222212aaIaXY或)0,0,0()1:0(0:1:121112aaaYX或或2221001baI0122ba12222byax可见，对椭圆，∵12222byax对双曲线∴它有二不同实渐近方向；∴它有二相同的实渐近方向；01222baI，∵001002I，∵∴它有二共轭复渐近方向；pxy22对抛物线1xy对双曲线∴它也有二不同实渐近方向；0412I，∵定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。即:⑴椭圆型:I20；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I202.二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：)12.5(*)(0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：)12.5(*)(0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF证：“”设C(0x,0y)是中心，而1M2M是过C的任一弦，该弦所在直线l：tYyytXxx00，0),(YX令iM(0x+itX,0y+itY)，i=1,2，则1t,2t是方程YttyYtyYtyyXttxXtxXtxx22(22(2102010021020100）（））（）021tt,0),(),(,002001YyxFXyxF的根，而21MM由弦的任意性,0),(]),(),([2),(000020012yxFtYyxFXyxFtYX0),(),(002001YyxFXyxF∴定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：)12.5(*)(0),(0),(2302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF“”若),(00yxC的坐标满足0),(),(002001yxFyxF，过C任取曲线的弦21MM，其方向为YX:，从而若令2,1),,(00iYtyXtxMiii，则21,tt应是(5.2.1)二个根。∵0),(),(002001YyxFXyxF021020100210201022(22(yYttyYtyYtyxXttxXtxXtx）（））（）∵21MM的中点坐标为021tt即),(00yxC是弦21MM的中点∴C为中心推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：)22.5(0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：.)22.5(231322121211无解，没有中心时，当aaaaaa这条直线叫中心直线。都是二次曲线的中心，点无数多解，直线上所有时，当)22.5(231322121211aaaaaa定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二