立体几何专题复习线面角学案

E错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。立体几何专题复习——直线与平面所成角的求法学案【基础回顾】【问题解决】例1如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，错误!未找到引用源。ABC=45°，AB=2错误!未找到引用源。，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；【变式演练1】如图，正方形A1BA2C的边长为4，D是A1B的中点，E是BA2上的点，将△A1DC及△A2EC分别沿DC和EC折起，使A1A2重合于A，且二面角A—DC—E为直二面角．(1)求BE的长；(2)求AD与平面AEC所成角的正弦值．【变式演练2】已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=21AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.【思考与收获】【巩固练习】1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为()A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆30°B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆45°C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆60°D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆75°2.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。3．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为060，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A.21B.22C.33D.364.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。5.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°6.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AECPDB平面；（Ⅱ）当2PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【真题再现】(09浙江）19．（本题满分14分）如图，DC平面ABC，//EBDC，22ACBCEBDC，120ACB，,PQ分别为,AEAB的中点．（I）证明：//PQ平面ACD；（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值．（10浙江）（20）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点.（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE;（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.（12浙江）20.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。（13浙江）19.如图，在在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G为线段PC上的点.（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC;（Ⅱ)若G是PC的中点，求DG与面APC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求PGGC的值.20090423【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】(Ⅰ)证明：作MN∥AB交AP于N,连结DN,则MN∥AB∥CD,且错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。∴CM∥ND,CM∥平面PAD（Ⅱ）∵CM∥ND,∴ND与平面ABCD所成的角为所求.∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴ND在平面ABCD上的射影为AD∴∠AND为所求；∵⊿PAD是正三角形，N是PA的中点∴CM与底面所成的角为30º.（Ⅲ）延长AD、BC交于点E,连结P、E.则PE为所求二面角的棱，且AD=DE=PD所以，∠APE=90º，AP⊥PE又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD∴AB⊥平面PAE∴BP⊥PE,∠BPA为所求二面角的平面角tan∠BPA=错误!未找到引用源。所以，侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan2【变式演练2详细解析】DCBPAMED(1)因为cos〈错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。〉=错误!未找到引用源。〈错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。〉=45°,即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是错误!未找到引用源。=(0,1,0).因为cos〈错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。〉=错误!未找到引用源。,所以〈错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。〉=60°,DP与平面AA′D′D所成的角为30°.【反馈训练详细解析】[来源:学科网]1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆B【解析新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆】作AO⊥CB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，∵AO=OD=23a,∴∠ADO=45°新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆答案新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆B2．C【解析】连结A1C1交B1D1于点O，则C1O⊥平面DBB1D1.连结OB,则∠C1BO即为所求.∵BC1=错误!未找到引用源。=20,C1O=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,∴sin∠C1BO=错误!未找到引用源。.故选C.3.C【解析】构造正方体如图所示，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，则O为正ΔABP的中心，于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角。设PC=a，则PO=aPD3332，故33cosPCPOCPO，即选C。5.B【解析】:如图，连结A1B和AB1交于点O′，取OB的中点E，连结O′E,则O′E错误!未找到引用源。A1O,[来源:学科网]∴O′E⊥平面ABC.连结AE,∴∠O′AE即为AB1与平面ABC所成的角.∵AO=BO,又∵A1A=AB,∴DO⊥平面ABC.∴∠DBO为BD与平面ABC所成的角.∴∠DBO=45°.答案:C∴AA1=CC1=2.连结BC1.∵A1C1⊥B1C1,A1C1⊥CC1,∴A1C1⊥平面BB1C1C.∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角.又BC1=错误!未找到引用源。,平面BB1C1C的法向量为n=(1,0,0).设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ,错误!未找到引用源。与n的夹角为φ,8.【解析】(Ⅰ)证明：取A′D的中点G，连结GF，CE，由条件易知FG∥CD，FG=错误!未找到引用源。CD.BE∥CD,BE=错误!未找到引用源。CD.所以FG∥BE,FG=BE.故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG[来源:Z*xx*k.Com]错误!未找到引用源。因为错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，BF错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，所以BF//平面错误!未找到引用源。（Ⅱ）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,连CE，因为错误!未找到引用源。在△BCE中，可得CE=错误!未找到引用源。a,在△ADE中，可得DE=a,在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.取A′E的中点N，连线NM、NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.在Rt△FMN中，NF=错误!未找到引用源。a,MN=错误!未找到引用源。a,FM=a,则cos错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为错误!未找到引用源。.∴OE//PD，12OEPD，又∵PDABCD底面，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，[来源:学科网ZXXK]在Rt△AOE中，1222OEPDABAO，∴45AOE，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.[来源:Zxxk.Com]（Ⅰ）∵,,0,0,0,,,,0ACaaDPhDBaa，∴0,0ACDPACDB，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面AECPDB平面.[来源:学科网]（Ⅱ）当2PDAB且E为PB的中点时，1120,0,2,,,222PaEaaa，设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∵1122,,,0,0,2222EAaaaEOa，∴2cos2EAEOAEOEAEO，∴45AOE，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.10.【解析】.解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），错误!未找到引用源。设G（0，2，h），则错误!未找到引用源。∴－1×0+1×（－2）+2h=0.∴h=1，即G是AA1的中点.（Ⅱ）设错误!未找到引用源。是平面EFG的法向量，则错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。平面EFG的一个法向量m=（1，0，